ページ1:

(一數與式
1環小數化為分數
分子:全部數字-未循環數字
分母 [循環位數 幾個9
1234-12-
例1.234 =
990
小數後未循環數⇨幾個。
算幾不等式
atb
正數a和6→
2邊相等⇨a=
多項式函
71
Jab
2
b
斜率和函數
yz-y1.
設A(xi, yī)-B(X2,Y2)⇒ m =
x2-2x1
概念定義 { Im/个⇨越鉛直
直線ax+by = C Dm =
直線ax+by=com_d
y=ax²+bx+C
-b
頂點坐標:(
-D
2次函數 {
Za ,
40
判別式
* {
b²
多項式運算
f(x)
=
4ac = 0⇨相等實根
k(x)x m(x) + r(x)
b2-4ac>0⇨相異實根
b²-4ac<0 共軛虛根
除法原理 {一次除式⇨綜合除法
例
f(x) = 2x3 -x²+4x-5
a(x-2)3+b(x-2)²+C(x-2)+d
↓
b(x-2)+g(x-2)+d
=
↓
⇒2(x-2)3+11(x-2)+24(x-2)+15
餘式定理:f(x)除(xa)の餘式= f(a)
因式定理:f(x)有(x-a)の因式⇨f(a)=0
插值多項式, ①牛頓:A(x-a)(x+b)+B(xa)+C
複數和多項式
2
4
2
3
4
14
2
几
124
440±4
4 5
2
6
20
10
115
4
2
11
·相異點(a,d).(be).(c,f)
插值多項式②拉格朗日:P(x-a)(x-b)+Q(x-b)(x-C)+R(x-C)(x-a)
a+bi (i
=
高次化簡:
▲ a
-
ì)
bā是a + bùの共軛複數
△ 虛數不能比大小
=
- . ï³ - -i . it = 1
根與係數:ax²+bx+C=0
{
2+3
=
b
a
C
2 B
=
a
勘根定理:若f(a). f(b)<0⇒f(x)=0時ab之間至少有一實根
NAN PAO

ページ2:

五、排列組合
邏輯和集合
敘述否定 {
PAQD 或
PEX
P
若P則Q 若Q則P!
數系:自然數NC整數ZC有理數@C實數RC複數C
B
A
e
A
An B
AUB
A
B
排容原理 {
n(AvB) = (A)+n(B)-n(A∩B)
n (AUBUC) = n(A) + h (B)+n (C) – n(AMB)-n(BAC)-n(ANC)+(ANBAC)
計數原理
排列組合
n!
加法原理:方法数分類相加
乘法原理:步骤方法數相乘
Ch-r)!
PU:n個相異物取出一個直線排列电吹
6個不同的獎品選其中4個分給甲乙丙丁1人1個,
例,分法有 360 種
P₁ = 6 x 5 x 4 x 3 = 360
chon個相異物取出r個算成一組⇒CH.
W!
r!(n-r)!
比賽規定每位選手須和所有人各比一場,賽程總共78場,
●例,選手有心人
| ch½ 2 =
2
=78 n²-11-156=0 n = 12 or 13
重複組合:n種相異物取出一個→HK = chtr-1
a+b+c+dte=7330組非負整數解,15組正整數解
●例HP=CH4×3×2
n
=3301
111x10x9x8
x x
(2-1)+(b-1)+(c-1)+(-1)+(e-1)=2-
CH+1
!有相同物⇒n個相同就除以n!
巴斯卡定理{
'r+1
記:上同加」,下差1取大
H√3 = C²² =
a+b+c+dte=
26 6x5=15
2項式定理:(x+y)n = cóxh+chaxivy+csxyz++chxy+chyn
1.
2
3 .3.
114.
6
4
,1
5 10
5
NAN PAO

ページ3:

條件機率
B事件已發生⇨A事件發生機率:P(AIB)= P(A∩B)
乘法原則:P(A∩B)=P(A)× P(B|A) = P(B)× P(AIB)
獨立事件
PCB)
! P(A∩B) = P(A)× P(B)
互不影響
七、數據分析
-維數據
由小到大排列{
中位數:正中間or中間2數平均
眾數:出現最多次
算術平均數: 1.
X₁ + x 2 + + Xn
n
平均數 > 加權平均 數 : Mo
XIPI + X₁₂ P2+.....+ Xn Pn
P1+ P2+.......+Pu
標準差{
σ =
(X-M)+(x2-M)+....+XU-MP
n
N
幾何平均數:f均為正數→G=xxxxx.xin
.離散程度:一个⇨分散度个
平移(每個數字加d) {全距和標準差⇨不变
X²+X²+
xu²-hM²
=
n
中位數和平均數⇨+d
伸縮(每個數字乘m) {
二維數據
中位數和平均數⇨xm
全距和標準差⇨xml
n
Σ (xi-Mi) (yi-My)
i=1
r=
1 x x Y x - nM x My
相關係數千
√√√(xi - Mx x√ (Yi-My)²
x
N
。
a
完全負相關零相關完全正相關
迴歸直線!
y-My:
= m(x-Mx)&mxax = rxy
標準化資料:x=M.
八. 三角
三角函數
STM(90-日) = cose
COS(90-)=STMA
角度变换
{
Sim(180-日) = sine
STRO
STn(日±180)
=
-Sime
cos(180-日)=-cose
Cos(日±180)=-C038
tan (18o-e)=-ting.
tan(o+180)=tane
a
b
C
SMO = =
"
cos == tano = a
NAN PAO

ページ4:

STAC
b²+ C² a²
三角形
正弦定理:
a
=
STNA STAB
餘弦定理:
A
COS
=
平彷4邊形
760
=
R
⇒ a² = b²+ c² - 2bc cos A
4邊平方和=2對角線平方和
D
基本公式://ab sth c
AB² + AC = 2(AM²+MB²)
4: √s(s-a) (s-b) (s-c) = 13
△3:
atbtc
=
2
向量公式:ㄨㄜ
各種公式
sin(A+B)
=
SinAcosB+cosASTMB
和角 {
cos(A+B)=cosAcosB-sinA STNB
tan(A+B)= tan Attan B
1- tanAtah B
tan (A-B)=-
tan A- tanB
1+tanAtahB
2tane
STA 20
= 2 STMA COSA
=
Ittane
二倍角, C032日 二 co₂² - STR² = 1 - 2 Sin² = 2004, 0-1 =
1-tane
It tan²e
2tane
tan 20 =
1-tan²e
三倍角 { STM3e
=
-4 STU³ +3sThe
cos 30
=
4 cos-3 cose
1-cose
STA-
==
N
2
=
Sine
tan-
=
2
1+ cose
九. 直
直線與圓
2
斜率
When Li //22⇒斜率相等
When LiLL2⇒斜率乘積=-1(向量內積=0)
直線
點斜式gy-b=m(x=a)
截距式:长+6=1
a
{
ax+biy = C
=
a=x+bzy = C2
a2
b2
重合.
ai
bi
=
≠0⇨平行
NAN PAO

ページ5:

二元一次不等式
when a > of ax+by+C > 0⇒右半面
ax+by+C<0→左半面
作 2X+3y ≤6 的圖形
(0,2)
例!
→
x03
0
y 20
2x+3y=6
線性規劃:平行線法和頂點法
圓方程式
標準式(x-P)2+(y-g=r=
一般式: ax²+by²+cxy+dx+ey+f(a=b且b=0 稱 一般式 )
十. 平面向量
概念運算
分點向量.
n
OP = mAh OA + with OB
mk
n
A
B
2.66 = 12/16/cose
內積坐標:=(x,y),(xzyz)→x=xx2+y1y2
a+ba. 5 = 0
向量應用
云在古上的正射影: (
=
10
正射影
26
正射影長=
划
柯西不等式 {
(ã. b)² ≤ är × 1661
(+x+ ky)² ≤ (t² + k²) (x²+ y²)
法向量: ax+by+c=ó⇒H=(a,b)
直線交角: cose = ± x
點線距:點到直線 ax+by-C=0的距離⇒ 代入1
四心
重心G {
{
坐標:(x1+22+x3,y1+y2+42)
Na²+b²
Q是任一點⇨0=5万+B+30
内角平分線交點
内心工 { 內切圓心⇨到,邊等距
「垂直平分線交點
外心 { 外接圆心⇨到了頂點等距
3.條高交點
垂心 H {
B
NAN PAO

ページ6:

三. 指数和對数
對數定義和對數律
符號互換: ab = C↔ b = logac
5: loga (xy) = logaX + logay.
提係數: loganxn =
m
logat
公式。
換底: logab
log b
=
其它:
1: logab
y=ar
圖形
=
Toga
Togba
→ a>1
y=logax
alogat = x. xlogay = ylogax
y=ax
對數查表和應用.
(o<a<1)
A y=logax
x
。
2
3
4
5
例:
log 2.52.
科學記號
對數表: 25 3979
399740144031
264150 4166 4183 4200142164232
= 0.4014 • log 2.61 = 0.4166 0.4232 = 10g2.65
ㄨˋ
( r = log a. bc...... )
if log K = n + Ea rok = a. b c ...... × 10^ ( r =
nzookの整數有(n+1)位,最高位數字為a
{
n<o⇒k從小數點後第(h)位不為0.此數為a
四、數列和級數
4048 | 4065
。
級數和
等差:sn=
a1+an
=
× n
2
(二)
Sn = a₁ ×
½ K = n(n+1)
K=1
2
(n+1)(2n+1)
-k² = n(n+1) (2n+1)
6
n(n+1)
=
n
三の分配律: (pax+gbk)=ax+gbk
遞迴數列很重要!
2

ページ7:

二
階行列式
①行列互換:不变⇒201
a
=
規定 1ab1 = ad-bc(a,b)和(cd)向量的平行4邊形面積
10
a b+ ka = lab
②乘常數加到另一行列:不变
性質 ③行列對調:变號⇨
30
b
d
=
b
lba
dc
④行列各带k倍SK提出→kakblklabl
⑤行列成比例;值為0⇨
d
a
b
=0
ka kbl
a
btt
d+k
- |ab|-|at|
⑥行列均為2項和:拆開相加→
方程組 {
aix + biy = Cr
92x+ bzy = C2
ai bi
Ax=
二元一次
a b₂
C2 b2
Ay = 92 C21
If & #05 X XD = Ax
.
yx△=
△y (相交)
if△=〇但△x≠oorayto⇨無解平行)
If A
=
△x=dy=0⇒無限多組解(重合)
空間向
空間概念
二
面角 {
折線垂直
射線的角度
面積為入投影到另一平面⇒alcos日 |
三垂線定理
H
AB⊥平面BCㄥˊ
蔚
B
錐体:体積都是ㄢx底面積x高
長方体,让正為KK
內部對角線長度:^²+b²+C²
a
9
2階行列式
坐標向量
性質和應用與平面的一樣
2
漿
向量 { p = (def)
2 = (a, b, c) : 2 x B
外積 ㄊㄨㄜ=1&lime
ax b = -bx α
%/ 2 // 66 4 2 × 66=0
cf
be
→?
↓
→(x,y
axb
de.
↓
,
z)

ページ8:

+
空間面 和直線
空間平面
標準式:ax+by+CZ=d)法向量=(a,b,c)
y
P
q
截距式:++4=1&平面和3軸的4面体体積=1421
平面交角: cose
=土
點代入!
點面距:點到平面ax+by+Cz+d=0的距離》
N²+b²+C²
空間直線
參數式:通過點(P141r)且平行向量(a,b,c)分
* 111: x-p y-q z-r
比例式:
a
b
{
ㄠㄎㄜˇ
x
=
y
=
Z =
P+ ta
+tb
r ++c
C
+
三
矩陣
A mal n 1 j
= mxn
運算
ikkRi
i U xk to ≤1) J 5₁ = k Ri + R j
第ù列和第J列對調⇒RJ
高斯消去法<例①:
例②
25.
14
615
m
n
行數
列數——
25
615
→ 30
→ 30
30
3R₁
142R3+Re
74
可化簡為
o a
olc d
b
=
4
d
-2
6
0-1-1.2
]↑(1)
014
0
-21
30 R23 14
方程組 { x-y=6
Da
=
x-2y-Z=8
10672×12 1.0
-2-18
[ai]]nxr乘上[bij]rxk ⇒ [ci]]nxk
Cij = (ais x bsj) 8 x 1
<=1
21.
相乘,例の求
x 2
知
昙
(例②.
=
103
40
2 =
[3][4][
②][]
X+24=8
3+5y=13
4x+14=Z
12+35=4
方陣A=
階反方
u
=
8 z
134
47
x=
85
合
y
5y = 10 y=2
门
[X+4=8⇒X=4_
16+14= Z ⇒ Z = 30
=[P],規定 deta)=11.
DA = [3 -f]
det(A) L-r ps
42
4
2
NS
Z
30
u=
47

ページ9:

性質
沒有乘法交換律⇨AB≠BA
Q (A+I)² = A²+ 2AI+I²但(A+B)²≠A²+2AB+B²
12 10 PQ = [ 132 0 ] ; PR = [ 4 3 2 ] 1 Q + R = [ 3 3 ]
例 >⇒P=[94] P2+PR
0
,
P = [44] PQ+ PR = P(G+R) [13) 3] = P x [ 1 3 ]
3
=P>[信][39]=[44]
3L-3
每過一段時間內部狀態的數量改變(固定比率)
任一行的和 = |
例 →穩定態為[]
轉移矩陣,長久時間⇒穩定(变再少都不會消失)
轉移矩陣A=[83],[b]經多次作用趨於穩定,
0.8 0.341-X = LI-X_
0.2% +0.7-0.7% = X + 1.5% = 0.7 => x = -15
0.2 0.7
四.
次曲線
拋物線
L
L:準線
# * > c : x = Ay ² + by + c
V:頂點
= F^v: y = Ax² + by +C
F:焦點
-(x - h)² = 4c (y-k) -
頂點= (h,k)
10>0
標準式.
焦距=1c1
(y-k)=4C(x-h)(頂點=(hk)
{ 焦距=1c1.
Co
CKO
例:拋物線-8(x-3)=(y+1)²的頂點=(3)-1),焦點=(1+)
橢圓
Cob
7/2
Fal
180=b²+C²
!圖上任一點到2焦點距離和=2a
(x-4)
(y-k)
a²
(o-b)
0
(x-h)²(y-K)2
⇒
62
a²
=11
双曲線
(ob)
AF!正焦弦長
DA
(-6,0) (0,0) (0,0 (C,O)
(o-b)
標準式
O c² = a + b²
Q双曲線任一點到2焦點距離和
26²
=
=29
(x-4) (y-k)²
2
92
(y-k)²
(x-h)²
a²
62
=1

ページ10:

双曲線的漸近線
左右
a²
** (x-h)² (y-k)²
1x-h
y-k
b2
a
=
土
b
上下
a²
(y-k)² (x-1) = 1 ☆
y-k
x-h
=土
b2
a
b
等軸双曲線
共軛双曲線
△贯軸長二共軛軸長(2a=26)
△2漸近線接近垂直
△中心相同
△漸近線相同
→貫軸和共轭軸是另一双曲的共軛轴和贯轴

ページ11:

Q. 把4顆雞蛋分裝到紅黃綠3個籃子,每個籃子都要有雞蛋,且黃綠籃子
都裝奇數個,則分裝的分法數: 66
A. 相同物品分到不同堆重複組合
①設紅黃線各放xyz顆→x+y+z=24
②令x=2m+2
.
y=2n+1. z =
2K+15→ 2m+21+2k=20→M+n+k=10
③求x+y+z=24中有幾組yz為正奇數解⇨H2=C1%=66
Q設 a. b. c.d. e. f.g皆為非負整數,滿足a+b+c+d+e+f+g=8,且
atbte≤4,則共有 1589 种不同解
則共有1589种不同解
A.
。 a+b+c= 3 +d+e+f+9= 5 13×H &= C = + C² = 360
②a+b+c=2⇒d+e+8+4=6 H3x1+8=CxC%=504)
③ a+b+c=1⇒d+e+8+9=7H3H=C3XC1=360)
> a+b+c=0 5 d+e+f+9= 8 H = C = 165)
⇒560+504+360+165=1589处
Q設(1+x)=aotaix+a2x²+93x3+......+anx”,其中a皆是整數
Got at +an
A. 0 x=1π
=
24
若Q4:an-6=3:2則n
Got a₁t az+......+an = 2"
:
© C^4: Ch 16 =3;2 C²¼¼ = C² = 3:2
n(n-1) (n-2) (n-3) x 2 =
x x = K(n-1) (n-2) (n-3)(n−4) (n−5)
n(n-1)(n-2)(n-3)
ㄨ
⇒(1-4)(1-5)=20
2/6 × 5 × 4×3×2
M²-9n+20
=№0
Q求x10除以(x-1)3的餘式= 450÷80x+36
A.x=[[+(x-1)]10
=
9
× 5
n²-qn=onch-9)=0*
clo + ci (x+1)+c (x-1) + cb (x-1)²+ + clo (x-1)°
X+户的信式
餘式= 1+10(x-1)+45(x-1)==1+10x-10+45x290x+45=45x280x+36

ページ12:

Q. 在△ABC中,M為BC邊之中點,若砺3,5,且∠BAC=1200
則tan <BAM =
573
A. ½ A(0,0). B (3,0) DC (-1,55)
BC中點為M=(本,舉)
⇒tan <BAM=(渠)÷4=5534
M
→北
B
Q. 設銳角三角形ABC的外接圆半徑為8,已知外接圆心到B的距離為
的距離為7,則孔=
2.而到
A. AB = 2BM = 2560=455
BC= 2BN =
3√15
=
4
cosa.
=
4
=
½ cosp
=
8
4√15
A
Ma
The
B
e
STM B
8
5
sin(2+p) = sind cosp + cost simp = √15+ TNTE
AC
=
Sin(+3)
32
2R = AC = 16x N = 4√15
=