重要 例題 29 外心の位置ベクトル
00
△ABCにおいて, AB = 4, AC=5, BC=6 とし,外心を0とする。 AOをA
AC を用いて表せ。
[類 早稲田大〕 ・基本
指針 三角形の外心は、各辺の垂直二等分線の交点であるから
右図の △ABCの外心Oに対して AB IMO, ACINO
これをベクトルの条件に直すと ABIMO, ACINO
よって, AO=sAB+ACとしてAB・MO=0, AC・NO=0
から,s, tの値を求める。
M
辺 AB, 辺 AC の中点をそれぞれM, N とする。
答 ただし, △ABC は直角三角形ではないから 2点M, Nは
ともに点0とは一致しない。
(*)
点Oは△ABCの外心であるから
AB・MO = 0, AC・NO=0
ANICS ABIMO, ACINO
ゆえに
AO=sAB+tAC (s, t は実数) とすると, AB・MO=0 か
ら
AB(AO-AM)=0
よって AB {(-1/2)AB+tAC}=0
......
また, AC-NO=0から AC (AO-AN)=0
HA
AQ
AOA 119
[最大辺は BC であり
BC2 ≠ AB2 + AC2
(*) 直角三角形の外
O (外接円の中心) は,
の中点と一致する。
SAHY
DA, OB
ること
ゆえに AC. {sAB+(-1/2) AC}=1
=0
......
ここで15|BC|=|AC-ABI
(1)ABC =|AC|-2AB・AC+|AB|
よって 62=52-2AB AC +42
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