Question

とけ

天才ならだれでもいいから誰かといてください。わかりません

引和式 デー(22ー2g二1)ヶ十のアー2Zく0 を満たす整数とが存在しないような            欠
囲を求めよ.                                                         3

Answer 1

LUX SIT

凡人ですが...
まず因数分解出来ることに気づいてほしいです
a^2-2aは-(a^2-2a)と-1に分けることが出来て, 和は-(a^2-2a+1)です.
***
与えられた不等式は{x-(a^2-2a)}(x-1)<0と書くことが出来て,
a^2-a≧1のとき, 1<x<a^2-2a, a^2-2a<1のとき, a^2-2a<x<1と解ける.
不等式の解に整数を含まない条件は
a^2-a≧1のとき, a^2-2a≦2[1<x<2を表す], a^2-2a<1のとき, a^2-2a≧0[0<x<1を表す]
で, これをまとめると0≦a^2-2a≦2と表せる.
この不等式を解くと1-√3≦a≦0, 2≦a≦1+√3である.

LUX SIT

[訂正]
「a^2-a≧1のとき」となっている部分は「a^2-2a>1のとき」としてください.
a^-2a=1のときは, x^2-2x+1=(x-1)^2≧0なので条件を満たします.
これは別途場合分けすべきでした.

Answer 2

きらうる

x²-(a²-2a+1)x+a²-2a<0　を満たす『整数』xが存在しないようなaの値の範囲を求めよ。といわれています。

ここで注意したいのは、与式<0を満たす『整数』xであるということ。
整数じゃなければ小数でも分数でも無理数でもあってもいいんですよ。
これがちょっと難しいところです。

すぐわかることは、判別式<0です。
与式を二次関数と考えると、x軸と交わってしまうと与式を満たすxが存在してしまうので。
D＝(a²-2a+1)²-4(a²-2a)<0
→　a⁴-4a³+6a²-4a+1-4a²+8a<0
→　a⁴-4a³+2a²+4a+1<0
→　(a²-2a-1)²<0
2乗した数は必ず0以上になるので、ここで手詰まりになってしまいます。

では本題の、[整数]xは存在しないが、小数や分数、無理数のxは存在するやり方を書いていきます。
まず、与式を因数分解します。
→　x²-(a²-2a+1)x+-1×-(a²-2a)<0
→　(x-1)(x²-(a²-2a))<0
場合分けをしていきます。

1)a²-2a<1のとき、a²-2a<x<1
整数xが存在しないためには、
a²-2aが0～1の間にあれば、整数xは存在しません。つまり
0≦a²-2a<1　であればいいのです。
(※イコールがつくのかつかないのかがわからないのであれば追記してください)
これを解いて、
a²-2a≧0　→　a(a-2)≧0　→　a≦0,2≦a
a²-2a-1<0　→　1-√2<a<1+√2
よって、1-√2<a≦0、2≦a<1+√2…①

2)a²-2a>1のとき、1<x<a²-2a
整数xが存在しないためには、
a²-2aが1～2の間にあれば良い。つまり、
1<a²-2a≦2　であればいい。
これを解いて、
a²-2a-1>0　→　a<1-√2、1+√2<a
a²-2a-2≦0　→　1-√3≦a≦1+√3
よって、1-√3≦a<1-√2、1+√2<a≦1+√3…②

あとは、①②をくっつけて終わりです