Choosen As Best Answer

先假設a=mn
c=MN
其中m,n,M, N是非2的質數
因為a, c都是奇數,所以才假設他有兩個非2質因數。
並且假設這個方程式有「有理數」解
然後討論這樣的b是否可以是奇數?

(討論)若這個方程式可以分解成兩個因式:

(1)(mx+M)(nx+N)
=mn x²+(mN+nM) x +MN
=ax²+bx+c
比較係數可知b=mN+nM
但是由於
奇數×奇數必為奇數
奇數+奇數必為偶數
如此mN, nM兩數必為奇數
b=mN+nM這個數必為偶數。
不合題意。
(2)(mx+N)(nx+M)
=mn x²+(mM+nN)x+NM
=ax² +bx +c
繼續討論這個b的值
依據(1)得到的結果,這個
b=mM+nN一樣也必為偶數。
依然不合題意。
(3)(mnx+M)(x+N)
=mnx²+(mnN+M)x+MN
=ax²+bx +c
雖然這裡的b變成一個mnN+M
但mnN仍然是奇×奇×奇=奇數。
M是奇數,兩者相加也同樣必然為偶數。
同理其他各類的因式,並沒有任何一種因式符合b是奇數的情形
我就不再列出所有的討論了。
((您可以自己寫看看檢查是不是有例外))
如此可以得證這樣的方程式並沒有「有理數」解,進一步得知它並沒有「整數」解

然後同理,當a, c有不只一個非2質因數的時候,無論怎麼組合這個方程式的因式,都無法使b為偶數。

結語:

由於二次方程式若有「有理數」解,那麼必然可以分解成兩個有理係數的因式。

然而利用分配律可以輕易得知一次項係數b一定是兩個數σ和δ的和。
而這兩個數σ,δ都必然是數個奇數的乘積。(也就是必然是奇數)
畢竟我們的公設是首項係數a與常數項c是奇數,那麼他們能拆解成不同多個奇質數的乘積,他們的組合也都會是奇數
(因為它們就只有奇質因數)

故分配律得知他們的任何組合都會是
奇數×奇數
那麼b必然是兩個奇數的和,也就是偶數。

與原題意不合,故證罄。

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