この文の主語はsheであるのに、頼まれるのはsheであるから、
people ask her to wash -.
she is asked to wash-.
となるので、受動態です。
likeのあとには、名詞[名詞句]が来るので動名詞がくるからです。
people ask...のやつは、上の文の頼む側と頼まれる側が入れ替わっているので上の文(能動態)が下の文(受動態)に変わります。
like(動詞のとき)には、「~が好き」となるので、~には、好きなこと・ものが入ります。事柄や物が入るので名詞が来ます。
すみません、分からないです!
あと、likeのあとは名詞が来るんですか??