解答

Choosen As Best Answer

(1)が解ければ(2)もとけるでしょう。

f(x)=e^x-(1+x) とおくと
f'(x)=e^x-1≧0
f(0)=0より、f(x)≧0

g(x)=(1+(e^a-1)/a)x-e^x
g'(x)=1+(e^a-1)/a-e^x≧1+(e^a-1)/a-e^a
=(e^a-1)(1/a-1)

① 0≦a≦1 のとき
g(x)≧0

不等式の証明は関数が0以上であることを示すのが王道です。
それ以外にも図形的アプローチとして、e^xの(0,1)における接線がy=x+1であることは有名ですよね。つまりe^xは常にx+1より上です。

ゆう

不等式の右側に関しても、何やら見慣れた形ですね。これに気づければすごいのですが、難関大に目指すのであればテクニックのひとつとして当然覚えておかなければいけません。下に凸の関数にたいして関数上のある二点を通る直線はその二点の間において絶対に関数より上にあります。よってy=e^xにおいて題意を満たすようにx=0,aを通る直線を求めると、二点を通る直線の方程式より
(e^a-1)x/a+1≧e^x
よって不等式は示されます。微分によるゴリ押しもありですがこういう図形的アプローチも大事ですよね。

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