數學與統計
大學

請問用Mean Value Theorem 要怎麼證明?

ee 人 Mo (96 fardllfgod , )f 0 < 才<277: 30. SuppoSe /is an odd function and 1S dlff 0

解答

想不到用MVT來證明呢,只想到
consider f(x) = x - sin(x)
f'(x)=1-cos(x)>0 ∀x∈(0,2π)
∵f(0)=0 and f'(x)>0 ∀x∈(0,2π)
∴f(x)>0 ∀x∈(0,2π)
x>sin(x) ∀x∈(0,2π)
sin(x)<x ∀x∈(0,2π)

león hung

從∵那行接續下去

由均值定理可以得出,存在一個0<c<x
使得f(x)-f(0)=f'(c)×(x-0)
且此式已知大於0
亦即可找到c介於0與x之間,使得f(x)-f(0)=f'(c)×(x-0)>0
故得f(x) -f(0)>0
即x - sinx>0
得證x>sinx for all x∈(0,2π)
QED

león hung

對了,均值定理其實有分微分均值還有積分均值兩大類

微分均值又依照推廣程度不一樣而分成羅爾定理(最狹義)、拉格朗日定理、柯西定理(最廣義)

而我用的是拉格朗日均值定理

Sanbert Wong

謝謝😁

Jojo

了解謝謝你們🙏

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