Mathematics
高中

下線部のところからの式がよくわかりません💧

解答

Choosen As Best Answer

これは区分求積法の応用ですね
通常の区分求積法だと幅1/n, 高さ√(k/n)の長方形をいっぱい足した面積を考えることになりますが、この問題では幅1/n, 高さ√{(k+1/2)/n}の長方形で考えています。それを表しているのが右下の図です

mmm

ここはどうなっているのですか?

gößt

その部分だけが変わるというよりは、式全体が置き換わるという感じです

難しいとは思いますが、式全体が何を表しているかを理解しないと何をやっているかよく分からないと思います
もう少し丁寧に説明してみます。画像の青い部分の面積は底辺の長さが1/n, 高さが√{(1/2)/n}なので、面積は(1/n)×√{(1/2)/n} になります。緑の部分は底辺の長さが1/n, 高さが√{(3/2)/n}なので、面積は(1/n)×√{(3/2)/n} になります。同様に考えると、画像の長方形の面積の合計は
(1/n)×√{(1/2)/n}+(1/n)×√{(3/2)/n}+(1/n)×√{(5/2)/n}+…+(1/n)×√{(k+1/2)/n}+…+(n-1/n)×√{(1/2)/n}
=Σ[k=0~n-1](1/n)√{(k+1/2)/n}
になります。ここで、n→∞として1/nをすごく小さくしていくと、この長方形の面積の和は曲線y=√xとx軸, 直線x=1で囲まれる部分の面積に近づいていくので
lim[n→∞]Σ[k=0~n-1](1/n)√{(k+1/2)/n}=∫[0,1]√xdx
が言えるのです

mmm

ありがとうございました!

gößt

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