Question

淳華

解説お願いします。

(2)の問題で、模範解答と私の証明が違っていたので、私の証明で⭕️をもらえるかどうか教えてほしいです。

よろしくお願いします。

24. (1) a,b,cを整数とする. xに関する3次方程式+ax2+bx+c=0
が有理数の解をもつならば,その解は整数であることを示せ. ただし,
n
正の有理数は1以外の公約数をもたない2つの自然数m, nを用いて
m
と表せることを用いよ。
(2) 方程式+22 +2=0 は, 有理数の解をもたないことを背理法を用い
て示せ.
(大卓)
(神戸大)

【解答】
(1)ポイント)
x+ax+bx+c=0
・①
が有理数の解
n
x= (m, n は ±1 以外の公約数をもたない整数, m>0)
m
をもつとすると,
3
n
+a
+b・・ -+c=0
m
m
n3
-=-an²-bmn-cm².
m
(1)
この式の右辺は整数であるから, 左辺も整数で, m, nは±1 以外の公約
数をもたないことから, m=1.
よって,①の有理数解 x は整数である.
(2) 方程式
cos A
2-5-3
x'+2x2+2=0
…②
が有理数の解』をもつとすると, (1) よりは整数で,
p+2p2+2=0
・③
(2) A=120°であるから、
⇒
2=-p(p+2).
これ
p = ±1, ±2のいずれかであるが,こ
は2の約数であるから,
れらはいずれも③を満たさない.
よって, 方程式 ②は有理数の解をもたない.

(2)x3+200÷2=0円有理数の解を
もっと仮定する。
有理数の解を点とかく(点は既約数)
12:0
732m²
m³
22:0
m²
mo より
3+2matom÷0
η3=-2mm²-2m²
=2(-mh-m²)より
いろは偶数よっては偶数
2m² = -n²-2mn"
m² = n³-ma²
2.
んは偶数なのでんことおくと
m² = = 813-8/m/2
2
-413-4mk²
2(-2km²)より
んでは偶数よっては偶数
ここでn.maに偶数となり
n
が既約分類であることに
m
補する。
よって、22は
有理数の解をもたない

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

ジンくん

誘導に乗らないクレイジーな解答ですね
いいと思います。
僕は誘導乗ってみました。

淳華

誘導にのるパターンまで解いてくださってありがとうございます！

Answer 2

和

大筋で、特に問題ないように思えます

ただ、採点基準はその時々の採点基準によります
たとえばn³が偶数⇒nが偶数や
m²が偶数⇒mが偶数を既知としてよいかは
絶対に問題ないとは言い切れません
そこは少し不安です

(1)を利用していない点は、
出題者としては意図が汲めていないなと思うでしょうが、
この場合、減点要素にはなりません

淳華

丁寧に教えていただきありがとうございます！