Mathematics
高中
已解決

この問題の2枚目の式の解き方が分かりません!誰か解説してくださるとありがたいです、よろしくお願いいたします🙇

-88 (106) 第1章 数列 例題 B1.52n=k-1, k を仮定する数学的帰納法 **** x=t+1 とし,P,=1+ t" 1 とおく (n=1,2,・・・・・). このとき, P は x 考え方 解答 t 次の多項式で表されることを示せ. 自然数nに関する証明については, 数学的帰納法を用いる. まずはオーソドックスに 考えてみよう. (証明) (1) n=1 のとき,P,=t+1=x より成り立つ. (I)n=k のとき,Px=+==(xk次の多項式)と仮定すると, 1 n=k+1 のとき, Pato=t+1+- (+)-(++) (+)- =xPk-Pk-1 ここで,Px=(xk次の多項式) と仮定しているから,xPはxの(k+1)次の多項式で ある.しかし,P-」については,何次式なのか、xの多項式なのかもわからないつまり、 P& だけではなく、Pa」の次数についても仮定が必要になる.また,(II)で, n=k-1 とすると, n=1, 2,......であるから,k-1≧1 より k≧2 でなければならない。 wwwwwwwwwwwwww m (I) n=1 のとき,P,=t+==xより成り立つ. n=2のとき,P2=f+ 2=x2 より題意は成り立つ. (II)n=k-1,k(k≧2) について, 題意が成り立つと仮定する. IPkxの次の多項式 「Pk-1 は xの(k-1) 次の多項式 すなわち, で表されると仮定すると, Pati=tk+1+- tk-1. tk-1 =xPk-Pk-1 ここで, xPk は x×(xk次の多項式)より, xの (k+1) 次の多項式となり,P-1 は xの(k-1)| 次の多項式であるから, Pk+1 は xの (k+1) 次の 多項式となる. Ph-1 は xの (k-1) 次の多 式より, Pk+1 よって, n=k+1 のときも題意は成り立つ. (I) (II)より, すべての自然数nについて題意は成り =(x (k+1) 次の多項式 (x (k-1)次の多項 立つ 注》(I)でPがxの1次の多項式であることだけを示し, (II)の一般的な方法で, P2が 2次の多項式であることを示そうとすると, Po, P, が必要となり困る. (Poは定 れていない.)よって, (I)でP2 も調べておく必要がある. なお、下の練習 B1.52は, フィボナッチ数列の一般項に関する問題である. (p.B1-74 52 自然数とするとき.4.1/5(1+2)-1/5(25) は整数である
P=t+ =xPk-Pa-

解答

✨ 最佳解答 ✨

展開して余計なもの引いてるだけじゃないですか?

moon

展開の仕方が分からなくて…教えてくださると嬉しいです!

リグ

左辺に合わせるように余計なものを引いてます。

moon

何度もすみません。その計算が分かりません!もしよければ教えてください

リグ

どうぞ

moon

理解出来ました!ありがとうございます!

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