Question

ny.zzzh

t=0の時を考える意図が分からないです

1*274 原点を通る傾きの直線 l が 2直線x+y-4=0, x-y-4=0 と交わる点を
それぞれ A,Bとし, AとBが異なるとき, 線分ABの中点をPとする。
(1)Pの座標を媒介変数 tで表せ。
(2)tの値が変化するとき, Pはどのような曲線を描くか。

このとき
t2 +1
t2-1
整理すると
x2-4x-y2=0
y=x+t=--
・+t=
2t
2t
(x-2)2y2
すなわち
よって, 求める媒介変数表示は
4
=1
4
t2+1
t2-1
x=-
2t
-, y=2t
☆t=0のとき
274 (1) 直線 l の方程
式は
y=tx
...... ①
① を x+y-4=0に
代入して整理すると
(1+t)x = 4
P
B
A
t=-1はこの等式を
満たさないから
4
x=4,y=0
したがって, 求める
12
曲線は
双曲線
0/2
4
(x-2)2y2
-=1
-2
4
4
ただし, 2点 (0,0),
キー1
よって
x=
4
1+t
4t
①から
y=
1+t
(40)を除く。
275 長方形の頂点のう
ち, 第1象限にある
ものを
P
4
4t
ゆえに, A の座標は
P (3coso, 4sin 0)
1+t' 1+t)
O
13 x
また, ① を x-y-4=0に代入して整理すると
(1-t)x=4
t=1はこの等式を満たさないから t≠1
(0<<)とおく。
長方形の面積をSと
すると
S=23cos0 ×24sin0
=24.2sincoso=24sin 20
4
よって
x=
1-t
4t
①から
y=1-t
00 <より
0<20 <π
4
4t
ゆえに, Bの座標は
1-t' 1-t
Pは線分ABの中点であるから,Pの座標を
(x,y)とすると
4
4
4
x=
+
21+t 1-t
1-12
1 4t
4t
4t
y=
+
21+t 1-t 1-2
よって,Sは20=すなわち0=4のとき最
大値 24 をとる。
3
このとき,Pの座標は (12V) であるから,
2辺の長さは3/24/2である。
参考 媒介変数表示を用いずに,次のように解く
こともできる。
4
4
ここで, AとBが一致するとき,
1+t 1-t
かつ
4t 4t
1+t 1-t
第1象限にある長方形の頂点をP(x1,y1), 長
方形の面積をSとすると
から t=0
S=2x1×2y1=4x191
したがって,Pの座標を媒介変数で表すと
また
0<x<3,0<x<4
4
4t
2
2
(t≠0)
1-12
1-12
Pは楕円上にあるから
+
=1
9
16
4t
xt2=x-4
①yt2+4t=y ...... 2 CTR
4
(2) x=1=1-12
yuから
また, x=0 は ①を満たさないから x=0
①,② をt, の連立方程式とみて解くと
t=2, f=x-4
tを消去して
x
x
x-4
① を代入して, 両辺に24 を掛けると
419124 すなわち S≦24
x1
2
16
->0であるから, 相加平均と相乗
平均の大小関係により
x12 y1
x1
x22 VI
2
9
≧2人
916
x
2
等号は
は
9
y₁
16
= のとき成り立つ。

数学c

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

問題文でt≠0と指示していない以上、
こちらはすべての実数tに対して論証してやることになります

こちらが「t≠0のときはこうです」だけの答案を書いたら、
「t=0のときについては？」と思われます

(2)の解答の前半はt≠0の場合について述べているので、
最後に（最初でもいいですが）t=0の場合を述べておきます

ny.zzzh

なるほど！理解しました！
(0,0)を除くことは分かるんですけど、(4,0)を除くのはなぜですか？

和

t=0のときは「AとBが異なる」
という条件に反するから、除きます

ny.zzzh

理解しました！ありがとうございます😊