Question

114分科戰士🪖

為什麼詳解的倒數第二行會成比例？

11.【答案】(2) (3) (4)
【年級與單元】高二(下)第四冊 矩陣
【難易度】難 0.21
【解析】設點(x,y)在直線x-2y=5上,
3 b
則由
a
84][0]=[20
3x + by
ax + 4y
可知點(3x+by,ax+4y)在直線4x-3y=15上
⇒4(3x+by)-3(ax+4y)=15,
12x+4by-3ax-12y=15,(12-3a)x+(46-12)y=15
12-3a
46-12
=
1
-2
故選(2)(3)(4)。
=
15
-
5
= 3⇒a=3,6=
3
。
2

1. 設 a,b為實數,已知直線L:x-2y=5經 A =
3
b
「變換後得直線L'=4x-3y=15,
a
4
則下列選項何者正確?
(1) a<0
4.3.
(2)6>0
(3) ab>0
[][][]
(4) a-b>0
(5) a+b<0
a-80-3
2期3-26-400
asy

矩陣

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

qn

(x, y) 在原直線上 ⇔ (3x+by, ax+4y) 在新直線上
(注意：兩者互為充要條件，若前面符合則後面符合，反之亦然)

用方程式來表達，可以寫成：
x-2y=5 ⇔ (12-3a)x+(4b-12)y = 15

以方程式圖形的角度來說
意思就是兩個方程式是同一條直線

114分科戰士🪖

我還是不太懂欸
我的想法：
一個在x-2y=5的點經過矩陣變換後
變成在4x-3y=15上的點
再將(3x+by, ax+4y) 代入4x-3y=15，
不是就是將一個本來就在那條線上的點，再代回去嗎？可是這樣應該是兩條不一樣的線啊？ 怎麼最後會變成一樣的線？

qn

4(3x+by)-3(ax+4y)=15 和 (12-3a)x+(4b-12)y=15
是一樣的方程式
但是分別用了不同的解讀方式

4(3x+by)-3(ax+4y)=15
⇒ (3x+by, ax+4y) 在 4x-3y=15 上

(12-3a)x+(4b-12)y=15
⇒ (x, y) 在 (12-3a)x+(4b-12)y=15 上

因為兩者代表的是同一個方程式
雖然看起來不一樣，但其實是指同一件事情

114分科戰士🪖

抱歉 我還是覺得卡卡的🥹
為什麼經過矩陣變換後
兩線還在同一條直線上啊？
不應該是兩條不一樣的直線嗎？

qn

把符號區分一下好了
x' = 3x+by
y' = ax+4y
新的點 (x', y') 滿足 4x'-3y'=15

代入舊的座標，會得到
(12-3a)x+(4b-12)y = 15
但 (x, y) 滿足 x-2y=5

(注意：現在不看 x', y'，只看 x, y 的方程式)
如果這兩方程式不一樣
會解出 (x, y) 是一個點，或是無解
但我們設定 (x, y) 是直線上任意一個點
所以這兩個方程式應該要一樣

114分科戰士🪖

我知道了 謝謝你😍😍