Question

be

これってどこを見たらf(x)が下に凸で、0<x<1においてy=xよりも下にy=f(x)があるってわかるんですか？

重要
例題
ex-1
190 逆関数と面積
ビニとする。
315
00000
方程式f(x)=xの解は,x=0,1のみであることを示せ。
の
5
関数y=f(x)のグラフとその逆関数のグラフで囲まれた部分の面積を求め
1円
[物
[類 大阪府大
・基本 10. 177
線
指針
解答
また, 1 <e-1 <e から
(1) g(x)=f(x)-xとおいてg'(x) を計算し,g(x)の増減を調べる。
(2) 逆関数f-'(x) を求めて面積を計算してもよいが、次の性質を利用するとよい。
関数f(x)とその逆関数(x)について,y=f(x)のグラフとf(x)
このグラフは直線y=x に関して互いに対称である
・解答の(2)の図を参照。 対称性を利用して,y=f(x) のグラフと直線 y=xで
囲まれた部分の面積の2倍として求めると, 計算がらくになる。
(1) g(x)=f(x)-x とすると
g'(x)=-1
-1= ex-(e-1)
e-1
x=log(e-1)
g'(x)=0 とすると, ex=e-1 から
g(x)の増減表は右のようになる。
ここで g(0)=g(1)=0
49(x)=-1-x
x
log(e-1)
g'(x)
0
+
0<log(e-1)<1
g(x)
極小
6
よって, 方程式g(x) = 0 すなわち f(x)=xの解は
x=0 1のみである。
<極小値
g(log(e-1))<0
章
(2)y=f(x) のグラフとy=f'(x)
このグラフは、直線 y=x に関して
対称であるから (1) の結果も考慮
すると,これらのグラフの概形は
y
y=f(x)/y=xy=f(x) のグラフは下に
凸で, (1) から, 2点
27
面
00 (11) を通る。
積
また、x201≦xでは
y=f¹(x)
f(x)≥x, 0≤x≤1
右の図のようになる。
ゆえに、求める面積は
2(x-f(x))dx
01
f(x) ≦xである。
これらと対称性を利用し
y=f(x)のグラフ
の概形をつかむ。
ex.
-2(x-1)dx=2(x²--]-3-0
逆関数f(x) を具体的に求めると,f'(x)=log ((e-1)x+1) となる。
190
1/(x)=x(x-2) とする。 また, f(x) の逆関数をf'(x) とする。
(1)2つの曲線 y=f(x),y=(x) および直線y=√2-xで囲まれた図形を図示
OS

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

みっつ

下に凸であるのはf(x)が指数関数の形になっているからです。そしてy=xの直線と下に凸のグラフに交点がある（解をもつ）ということは0<x<1においてy=xよりも下にy=f(x)があると言えるのです。