Fill cras
56
解説
1 本間の数列{am)に対して、 2±√3 を解にもつ
次方程式
ー4ェ+1=0
を利用して. (a) が満たす3項問漸化式 ④ を導く
ことができる。 この方法はぜひ習得しておきたい。
なお,
Qu+2=q+2+Bm+2
=(a+B)(a+1+β"+1)- aß (a" +B")
=40円+1-1.0=40万+10%
として(4)を導くこともできる。
2° ①を用いると, (**)'は表と数学的帰納法から
直ちに示すことができる。
表より, as-ai. saz は8で割り切れる。
kを正の整数として as+4 - ar. +5 -k +1 が 8で
割り切れると仮定すると. ④より
ax+6-ax+2=(4ax+5-ai+4)(4ax+1 -ax)
=A(ax+5-ax+1)(x+4-as)
であるから, dx+6-ax+2 も8で割り切れる。
つ。
よって、数学的帰納法により, (**)' が成り立
3° 一般に, 整数xyと2以上の整数 N に対して,
ryがNで割り切れることを
x=y (mod N )
と表し,このような表現を合同式といい N を法
という。 すなわち,
r = y (modN)
⇔xyがNで割り切れる
⇔
したがって, as = as, a6d2 であるから, ①より、
であり, am を8で割った余りは4.64.
2の繰り返しとなる。ここで,
割り切れる
すべてのnに対して,n+p-4 は8で
J>>
すべてのに対して,n+p と を3で
割った余りが等しい
であるから、このような正の整数』の最小値は、
1
4^(3)について,補足しておく。 8で割って2余る整
数 A.8で割って 4余る整数 B, 8で割って6余る
整数Cは,それぞれの商をa, b.cとして
A=8u+2=2(4a+1)
B=86+1=1(26+1)
C=8c+6=2(4c+3)
と表される。ここで, 4a+1,2b+1,4c+3はいず
れも奇数であるから,AとCの素因数分解におけ
る2の指数は1.Bの素因数分解における2の指数
は2である。 一方, 8で割り切れる整数Dは,商
をdとして,
D=8d
と表されるから. Dの素因数分解における2の指
数は3以上であることはわかるが,具体的なその値
は不明である。このように考えると,(3)では.
を8で割った余りの中に0が含まれないことがポイ
ントであるといえる。
第3問 実数係数の高次方程式の解
とyをNで割った余りは等しい
である。 合同式は次の性質をもつ。
x=y (mod N), z=w (mod N) のとき
(i) x+z=y+w (modN) (複号同順)
(ii) rzyw (mod N)
(=y' (mod N) (r は正の整数)
配点 20点
出題のねらい
実数を係数とする方程式の解の性質を理解し、適切
に処理できるか。
合同式を用いて(2)を解答すると,次のように簡潔
に表現できる。
解答
【(2)の別解】
(1)
以下, 合同式の法を 8 とする。
2-423+az'+bz+c=0
の4つの解がα, β. y, δなので,
......0
1=4, a2=14=6
であり,
an+2=4ax+1-an
より,
α3=4・6-4=20=4
=4.4-6=10=2
a=4・2-4=4
as 4-4-2-14=6
z4-4z+az²+bz+c
=(z-a)(z-B)(z-y) (z-♂)
......4
であり、展開式の係数を比べると,
a+β+y+8=4
......③
(i)が成り立つとき, "yは虚数”としてよい。 い
ま①は実数を係数とする4次方程式なのでも
①の解であるから "87" としてよい。 このとき
2点
(ii)が成
を結ぶ直線は実軸に垂直なので,
