こんな感じです
この1^2＋2^2＋3^2＋…＋n^2の意味は
(nが正の整数なので)あくまで「1～nまでの
すべての正の整数をそれぞれ2乗して足す」
というだけです。なので、
n=1…1^2
n=2...1^2＋2^2
n=3...1^2＋2^2＋3^2
n=4…1^2＋2^2＋3^2＋4^2
という感じです。
ただn=1を代入して1^2＋2^2＋3^2＋…＋1^2としてはいけません。
「1から1まで(=1だけ)」を２乗して足す、という事です。
ではなぜわざわざ
「1^2＋2^2＋3^2＋…＋n^2」と表すのか。
「1～nまでの数字をそれぞれ2乗して足す」
という意味なら、「「1^2＋…＋n^2」とだけ
書いても伝わりそうなものです。
(確かにこう書いてる場合もあります)
わざわざ書く理由、それはずばり
「規則性の明記」が必要だからです。
この考え方は数列についても同様に
よく言われるので、数列で例を出しますね。
例えば、ある数列{an}が
{an}=1、2、3、…と続く場合を考えます。
この数列{an}は1、2、3、と1ずつ増える(初項1、公差=1の)数列と言えます。
では、少し数字を削って
{an}=1、2、…と続く場合を考えます。
これはどうでしょうか？
これだと、
① 1、2、3、…と1ずつ増える(初項1、公差1の)数列
②1、2、4、…と2倍される(初項1、公比2の)数列
のどちらなのか分かりません。
数列の規則性がひとつに定まらないのです。
なので、数列に対して問題を出したりする場合には、どの数列について言っているのかわかるように、その規則性を明示しなくてはいけません。
(一般的に数列の規則性の明示には
初項～第3項まで書けば良いとされています)
数列について長々と書きましたが、和に対しても同様です。1^2＋2^2＋3^2＋…とするのは、その規則性を明示する為に初項～第3項までを書いただけです。
ですが、それはあくまで出題者の書き方の話です。
意味としては「1～nまでの正の整数を1つずつ、それぞれ2乗して足す」というイメージで良いと思います。
ご回答ありがとうございます。
補足質問なのですが、
［1］n=1のとき（左辺）=1^2=1となっていますが、左辺のnに1を代入した後他の1^2+2^2+3^2+...を足すと左辺は1にならないと思ったのですが、なぜ左辺は1になるのですか？