重要 例題 34 数字の順列 (数の大小関係が条件)
次の条件を満たす整数の組 (α1, a2, as, a, α5) の個数を求めよ。
<a<a<a<a<a<9
maisamas≦a≦a≦3
(3) ataztastastas≦3, a≧0 (i=1, 2, 3, 4, 5)基本 32,33
指針 (1)急のはすべて異なるから、1.2させれば48個の数字から異なる。
個を選び, 小さい順にα1, 2,.....',
α5 を対応させればよい。
求める個数は組合せ C5 に一致する。
(2) (1) とは違って、 条件の式にを含むから, 0, 1, 2, 3の4個の数字から重複を許
して5個を選び, 小さい順に a1,a2,
→
求める個数は重複組合せ H5 に一致する。
α5 を対応させればよい。
(3)おき換えを利用すると、不等式の条件を等式の条件に変更できる。
3-(a+a2+as+a+α5)=bとおくと a1+a2+as+a+a+b=3
また, a1+a2+αs+a+as≦3から b≥0
よって、基本例題 33(1) と同様にして求められる。
(1)1,2,………, 8の8個の数字から異なる5個を選び, 小検討
解答
さい順に α1, A2,
1つ決まる。
..., α5 とすると, 条件を満たす組が
よって, 求める組の個数は
8C5=8C3=56 (1)
←
-等式
(2),(3)は次のようにして
解くこともできる。
(2)0,1,2,3の4個の数字から重複を許して5個を選び,
小さい順にα1, A2,
α5 とすると, 条件を満たす組
が1つ決まる。
よって, 求める組の個数は
4H5=4+5-1C5=8C5=56 (個)
(3) 3-(a1+a2+α3+α+α5)=bとおくと
a1+a2+a3+a+α5+b=3,
ai≧0 (i=1,2,3,4,5), 6≧0
SI sty
(2) [p.384 検討 PLUS
ONE の方法の利用]
bi=ai+i(i=1,2,3,
4, 5) とすると, 条件は
0<b<bz<b<b<bs<9
と同値になる。 よって、
(1)の結果から 56個
(1)+(3)3個の○と5個の仕
切りを並べ,例えば,
よって, 求める組の個数は, ① を満たす0以上の整数の
組の個数に等しい。 これは異なる6個のものから3個取
重複組合せの総数に等しく
6H3=6+3-1C3=8C3=56 (個)
別解 as+a2+as+a+as=k(k= 0, 1, 2, 3 を満たす 0
以上の整数の組 (a1, A2, A3, a, α5) の数は5Hkであ
るから Ho+Hi+5H2+5H3
=4Co+5C1+6C2+7C3
=1+5+15+35=56 (個)
|○||〇〇|| の場
合は (0,1,0,2,0)
を表すと考える。
このとき
A|B|CD|E|F
とすると, A, B, C,
D, E の部分に入るO
の数をそれぞれ a1, 2,
α3, 4, as とすれば,
組が1つ決まるから
8C3-56 (1)
