61 内接球・外接球
右図のように直円錐の底面と側面に球が内
接している. 直円錐の底面の半径は6,高さ
は8として次の問いに答えよ.
(1) 球の半径Rを求めよ.
(2)直円錐の側面と球とが接する部分は円で
ある. この円の半径を求めよ.
...
精講
(1),(2)とも基本的な扱い方は同じです. それは
空間図形は必要がない限りは空間図形のまま扱わない
ある平面で切って, 平面図形としてとらえる
問題は「どんな平面で切るか?」 ですが, 球が接しているときは (内接も外接
も同様), 球の中心と接点を含むような平面で切るのが原則です. したがって,
この立体の場合, 円錐の軸を含む平面で切ればよいことになります.
このとき,三角形とその内接円が現れるので, 57 * にあるように,中心と
接点を結びます。
解答
(1) 円錐を軸を含む平面で切り,その
断面を右図のようにおく.
このとき, △ABD∽△AOE だから,
E
AF
RO
0
R
B
6
C
AB BD=AO:OE
ここで, AB=√62+82=10
BD=6, AO=8-R, OE=R
∴. 10:6=8-R:R
..6(8-R)=10R
よって, R=3
(別解Ⅰ) △ABCの面積=48 だから, AB=10 より
(12+10+10)R=48
.. R=3
83
(別解Ⅱ) ∠ABD=0 とすると
tano=1/43 だから, coso=
=13, sino=-
4
5
RAO cose より
3
R=(8-R)-
5R=24-3R
5
.. 8R=24
よって, R=3
(2) AO=5,OE =3 だから
AE=√52-3°=4
△ABC∽△AEF で
相似比は 10:4, すなわち,
52 だから, EF= =BC=24
5
よって,求める円の半径は、/1/2
12
-EF=
5
(別解) EF=OE sin0×2
B
AO=8-R
10 E
=3×13×2=24
よって,求める円の半径は,212EF=1/2
注 このように直角三角形がたくさんあるときは, 三平方の定理だけ
ではなく, 三角比も有効な道具です。 (64)
ポイント球が立体に接するとき, 中心と接点を含む平面で切り,
平面図形として扱う
演習問題 61
右図のように直円錐が球に内接している.
円錐の底面の半径を 6, 高さを 8 とするとき
この球の半径Rを求めよ.
18
直円錐の側面と球とが接する部分は円である〜 と言っていることがどの様な状況かよく分からないです😭