要例題 44
確率と漸化式 (2)
00000
この
行をn回繰り返して得られた点の合計を3で割ったとき,余りが0となる
硬貨を1枚投げ, 表が出たときは1点, 裏が出たときは2点を得る。
率をαn, 余りが1となる確率をbm, 余りが2となる確率を Cn とする。
(2) +1 を bm と C を用いて表せ。
(1) 1, bi, C を求めよ。
(3) + αを用いて表せ。
(4)
ann を用いて表せ。
CHART & SOLUTION
確率と漸化式
1 n回目と (n+1) 回目に注目
(1) n回目と(n+1)回目の試行後の状態を, 模
式的な図にかいて状況を把握するとよい。
(2)(n+1) 回後に得点の合計を3で割った余り
が 0 になるのは
[1]
が出る
2
基本37
(確率の和)=1にも注意
(n+1) 回目 [(n+1)回の合計
表
n回の合計
回の合計 1
回の合計 +
回後に余りが1で, (n+1)回目に裏
(n+1)回の合計の余りが
なる場合に着目すると
[2]
回後に余りが2で, (n+1) 回目に表
[n回]
[n+]
が出る
余り 0
---
余
るから
のいずれかであり, [1], [2] は互いに排反であ
を bn と C を用いて表すことが
裏 (+2)
余り 1
できる。
表 (+1)
余り2
本問ではn回後の余りが0のときは, (n+1)
回後に余りは0にならないことに注意。
(3) 整数を3で割った余りは0か1か2であるから, すべての自然数nに対して、
an+b+cn=1 が成り立つ。このかくれた条件がカギとなる。
解答
(1) 1回の試行により,
余りが0になることはないから
a₁=0
余りが1になるのは表が出たときであるから
余りが2になるのは裏が出たときであるから=1/2
