Mathematics
高中

1枚目、(2)の問題です。

なぜこのように分けて考えて良いのでしょうか?

る数である。 _2) 実数の集合A={a+b√2|a, 6 は整数) がある。 このとき, √3 は A の要素では ないことを示せ。
(2)√3Aであると仮定する。 このとき, a+b√√3 を満たす整数a, b が存在する。 a2=(√3-√2)2 =√3-√2の両辺を2乗すると すなわち 整理すると a2=3+262-26/6 a2-262-3+26√6=0 ...... ① ここで, (1) の命題が真であることから,平方数でない自然数 6 に対して, √6は無理数である。 a2-262-326 は有理数であるから,① より これを解くと a2-262-3=0,260 a=±√3,6=0 3は平方数でないから √3 も無理数であり, a=±√3は a が整数であることと矛盾する。 したがって, √3はAの要素ではない。
合 (2)√3Aであると仮定する。 このとき, a+b√2-√3 を満たす整数a, b が存在する。 a2=√3-√2)2 =√3-√2の両辺を2乗すると a2-262-3+26√60....... ① すなわち a2=3+262-26~6 整理する = ここで, (1) の命題が真であることから, 平方数でない自然数 6 に対して, V6は無理数である。 α2-262-326 は有理数であるから, ① より α2-262-3=0,26=0 これを解くと a=±√3,6=0 3は平方数でないから √3 も無理数であり, a=±√3 は a が整数であることと矛盾する。 したがって,√3 は A の要素ではない。
数学ⅰ 背理法

解答

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