Mathematics
高中
已解決

x²-y²=1を満たす自然数x、yは存在しないことを証明せよ。

これを背理法を使って証明するのですが答えがなくて過程がわからないので教えてください🙇🏻‍♀️

解答

✨ 最佳解答 ✨

x²-y²=1を満たす自然数x、yは存在すると仮定する。
x²-y²=1を因数分解すると、
(x+y)(x-y)=1
x、yは自然数なので、(x+y)、(x-y)は必ず整数である。
整数×整数=1が成り立つのは1×1=1のみであるため、(x+y)、(x-y)はそれぞれ1であるはずだが、(x+y)は自然数+自然数であるため、必ず2以上の数になる。このことから、矛盾が生じていることが分かる。
したがって、x²-y²=1を満たす自然数x、yは存在しない。

このような感じで良いと思います 𓂃🫐
ポイントとしては、
まず命題の否定(集合でいう補集合のこと)を仮定する、矛盾点を述べる、だから命題は真であると証明できる という展開をしっかりつくることです!

優 衣

なるほど!!わかりました🥹
ポイントも書いていただきありがとうございました🙇🏻‍♀️

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