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8.
擺錘到達正下方時，擺線恰接觸細桿
前面下墜過程滿足力學能守恆
之後擺錘向上攀升，到達小圓的最高點
這段過程也滿足力學能守恆
所以 小圓的最高點 應該低於或等於 原本放開的高度
也就是 h - (L - h) ≥ L/2
⇒ 2h - L ≥ L/2
⇒ 2h ≥ (3/2) L
⇒ h/L ≥ 3/4
9.
由功能原理可知，該物體受到的功的總和 = 其動能的變化量
由於起點與終點高度相同，故重力作功 = 0
因此，空氣阻力作功 = ½·1·8² - ½·1·10² = -18 (J)
10.
假設滑落到某一點時恰開始脫離
滑行的弧的角度為 θ
進行受力分析
在脫離之前，物體作圓周運動
重力與正向力的合力提供其向心力
在脫離的瞬間，物體不受正向力
僅依重力作圓周運動
(脫離後為自由落體)
脫離時，速度為 v
依力學能守恆可知 ½m(gR/6) + mgR = ½mv² + mg(cosθ)R
⇒ gR/6 + 2gR = v² + 2gR·cosθ
⇒ v² = (13/6)gR - 2gR·cosθ
= gR·[(13/6) - 2cosθ]
又圓周運動的向心力為 F = mv²/R
⇒ mg·cosθ = mgR[(13/6) - 2cosθ] / R
⇒ cosθ = 13/6 - 2cosθ
⇒ cosθ = 13/18
離地高度為 R·cosθ = (13/18)R
18.
(不知道氣球是上浮還是下沉)
設氣球達終端速率時
受空氣阻力 -F，受其他的合力為 F
速度為 v (與空氣阻力反向)
則 -F = k·v³
設經過單位時間∆t
位移 v∆t
空氣阻力作功為 -F·v·∆t
功率即為 -F·v = kv⁴
若 v 變為 2v，則功率變為 k(2v)⁴ = 16kv⁴
為原本的 16 倍
7.
設物體在最高點時速率為 v
由力學能守恆可知 ½·2·16² = 2·g·8 + ½·2·v²
⇒ v² = 16² - 16·9.8 = 16·6.2 = 99.2
向心力 F = mv²/r = 2·99.2 / 4 = 49.6
向心力為重力與繩張力的合力
mg + T = 49.6
T = 49.6 - 2·9.8 = 49.6 - 19.6 = 30 (N)
