Question

ふぃり

数学得意な方お願いします。
解答に、f(x)は実数全体の値に対して微分可能であるから、x=2で最小値を取るとき極小値と書いてありました。
微分可能は分かるのですがなぜ極小と言い切れるのか分からないです、教えて下さると大変助かります。

がx=2で最小値-1 をとるとき,定数α, b
関数 f(x)=
ax2+bx+1
x2+1
の値を求めよ。 このとき, f(x) の最大値を求めよ。

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

希

このf(x)には定義域は実数全体です。
そして微分可能なら全ての点で連続となります。
よってこの関数が途切れることはありません。
また、連続関数の最小値が現れる候補としては、極小値と定義域の両端です。
定義域に制限が無いので、極小値しかあり得ません。

最小値が存在することは確定しています。
この問題で考えます。x=2で最小値-1をとるので、
x<2の範囲ではf(x)>-1であり、
x>2の範囲でもf(x)>-1となります。
よってx=2付近でx<2のときは減少し、x>2では増加する関数となります。すなわちx=2で増減が変化することになります。よって極小値をとることになります。

ふぃり

最近本当に色々とこんがらがってるので大変助かります、、「全ての点」で連続だから「極小値」しか有り得ないって考えたら納得しました！毎度分かりやすい解説をありがとうございます😭