Question

莎

求解 謝謝🥲

選屆考題:
已知數列 < an > :1,3,4,9,10,12,13,27,28,30,31,36,37,39,40,81,
< a > 的每一項是由一個3的非負整數次方或由幾個相異3的非負整數次方之和所組
成,並且數列按照由小到大排列。即數列的前幾項是
3° (= 1),
3¹ (= 3),
30 + 31 (= 4),
3²(= 9),
3° + 3² (= 10),
31 + 3² (= 12),
3° + 3 + 3² (= 13),
3³(=27),
3° + 3° (= 28),
3¹ +3³ (= 30),
30 + 31 + 3° (= 31),
3² + 3 (= 36),
3° + 3² + 3° (= 37),
31 + 3² + 3° (= 39),
30 + 31 + 3² + 3 (= 40),
34 (= 81),
試求此數列的第100項 <100 > = ?
。

Answer 1

qn

假設n=2ᵃ¹+2ᵃ²+⋯+2ᵃᵏ
第n項(aₙ)為3ᵃ¹+3ᵃ²+⋯+3ᵃᵏ
(如果知道二進位的話比較容易看出來)

100=2²+2⁵+2⁶
a₁₀₀=3²+3⁵+3⁶=9+243+729=981