Question

まなか

この解答でなぜaは正の定数だから1より小さくなるのかが分かりません。定数は必ずしも整数でなくてよいので、-a/2＜0にしてはいけないのですか？

7 [2018 明治薬科大]
2次関数f(x)=x2+mx+n について, y=f(x)のグラフはm=
のとき,2本の直線y=8x+1とy=-2x-4 に接する。 また,関数 g(x) を
g(x)={f(x)}^2+af(x) + b と定義する。ただし,aは正の定数,bは定数である。g(x)
のとき、最小値-8をとり, g(-4) 24 である。 このとき, a=
はx=
b=
である。
解説
y=f(x)のグラフと直線y=8x+1が接するから, x2+mx+n=8x+1すなわち
x2+(m-8)x+n-1=0の判別式を D とすると
D1=0
D=(m-8)2-4(n-1)=m²-16m4n+68 であるから
m²-16m-4n+68=0
①
y=f(x)のグラフと直線y=-2x-4が接するから,x2+mx+n=-2x-4すなわち
x2+(m+2)x+n+4=0 の判別式を D2 とすると D2=0
D2=(m+2)2-4(n+4)=m²+4m-4n-12 であるから
m2+4m-4m-12=0
②-① から 20m-80=0
ゆえに, ② から n=15
b=-5a-1
よって
f(x)=x2+4x+5=(x+2)2 +1 であるから f(x) ≧1
g(-4)={f(-4)}2+ af(-4) +6=25+5a+bであるから
ゆえに
3
このとき g(x)={f(x)}+af(x)-5a-1
a
aは正の定数であるから -<1
よって, g(x) は f(x) = 1 すなわち x=
ゆえに -4a=-8
よって
③から b=-11
m="4
2
a
a
− 1 = {√(x) + 2 } ² - 2 / ²
4
a ==2
5a +6 +25=24
n=
-5a-1
をとる。
-2のとき最小値-4a