Question

いのり

数学IIの相加平均と相乗平均です
なぜ等号が成り立つとき9a=1/4aなんですか？

問題253
a> 0, b>0のとき, 次の不等式を証明せよ。 また, 等号が成り立つのはどのようなとき
か。
(1) 9a + -≧3
4a
12
a+b
(3) a+b+
(解説
相加平均と相乗平均の大小関係を利用する。
1
(1) 9a>0, >0であるから
4a
-24√3
a=
(2)
==// のときである。
6
1
等号が成り立つのは, 9a= ・すなわち α2
=
4a
5b
3a
+ -≧2
3a 5b
16
(1) (a + 1) (6+¹6) 225
b
a
9
90+122√ √98-1=2√ √7=3
2,
:3
.
4a
4a
1
のときであるが, a>0 であるから
36

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

数学にわか

こんにちは！
簡単な解説を添付いたしましたのでご確認ください。
分からない部分、読めない部分等ありましたら遠慮なく仰ってください🙇‍♂️

相加相乗平均は、a>0,b>0のとき、a+b≧2√abとなる定理です。このとき、a+b＝2√abとなるのはa＝bの時であることが知られています。

なぜa＝bなのかを説明した画像を添付しておりますので、良ければご確認ください！

いのり

先に回答してくださったのでBA失礼します
そういう決まりみたいなのがあるんですね…！
ありがとうございました(* . .)⁾⁾

数学にわか

こちらこそありがとうございます！
お力になれて良かったです✨

Answer 2

やっほー

単純に考えれば当然な話なのですが、等号成立→イコールが成り立つときはいつ？ということですよね

a+b=2√ab この時a=bならば左の式のbをaに変えても問題ないので（aと bはイコールだから）入れ替えると

a+a=2√a×a → 2×a=2√a^2=2a

等号が成立しましたね　　なので、等号成立条件は使われてる２つの項が等しい時になるのです。（ルートが外れるから）　こんな感じでどうでしょう！