Question

み

（20）(21)を教えていただきたいです。
解説のBP:DP=3:5、BR:DR=9:10
までは理解できたのですが、BP:PR:RD=57:15:80になるところがよくわかりません。

(カ) 四角形 ABCD について,辺 AD と BC が平行であり, AB=BC=CD=3,AD=5と
する。 また,線分 AC と BD の交点を P,線分 BC を3:1 に外分する点を Q, 線分
AQ と BD の交点をRとする。 このとき,線分 BD の長さは (18) であり,三角
形 ABCの外接円の半径は (19) である。線分PRの長さは (20) であり、三
角形 APRの面積は (21) である。
(18) の選択肢
①2V5 ②2v6 ③3V2 ④3V字
(19) の選択肢
3√3 5√3
(20) の選択肢
15v5
76
35√/6
152
(21) の選択肢
75
152
15√6
76
105√2
304
115√2
304
75√2
152
115√/2
464
3√10
35√6
76
125
152
7V/5
75
304
7√3
45√/2
152
115
304
5v5
3
21
45√/3
152
5v6
3
9√6
8
75√/2
304
35V5
152
7√6
3
7√10
8

(カ)
条件より、 四角形ABCD は, AB=DC の等脚台形である。 点 B, Cから辺ADに下ろした垂線
の足をそれぞれE,Fとすると、下図のようになる。
よって、
AE=FD=1, EF-3
BE=√AB²-AE²
=√√3²-1³²
= 2√2
となるので、線分BDの長さは、
BD = √BE² +ED²
-
E
(2√2)* +(3+1)*
cos ZABC=
=2√6
である。 また, AC=BD=2√6 であるので、△ABCについて余弦定理を用いると、
3²+3²-(2√6)
2-3-3
=1
R
F

となる。ここで、0° < ∠ABC < 180° より, sin∠ABC > 0に注意すると,
sin∠ABC=V-cos² ∠ABC
を得る。 △ABCの外接円の半径をRとおき, △ABCについて正弦定理を用いると
AC
sin ZABC
R=
R=
である。 よって
となるので、
√-(-3)
2√√2
となる。 さらに, BPC ADPA より
BP:DP=BC:DA
-3:5
であり, BRQ ADRAより
BR:DR =BQ: DA
となる。
PR =
=2R
2√61
2√√2 2
=
3√3
BP:PR: RD=57:15:80
=9:10
15
57 +15+80
15
-2√6
152
15√6
76
を得る。 また, △ APRの面積は、
(△APRの面積)
・BD
PR
BD
･
( △ABD の面積)
15 1 --5-2√2
7+15+80_2
75-√2
152

数学 高校数学 図形

Answer 1

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BD＝Xとする。

BP:DP=3:5より
BP＝3X/8
DP＝5X/8

BR:DR=9:10より
BR＝9X/19
DR＝10X/19

また、PR＝BR－BP＝15X/152

よって、BP:PR:RD＝3X/8：15X/152：10X/19
＝57:15:80