✨ 最佳解答 ✨
結論から言うと置いてそのように回答していただいて問題ありません。まず積分方程式において関数を求めると言うことはf(x)を求めることでありf(2x)は解にはなりません。そのため2x=s(←tは既出なので避けた方が無難です。)とおいて中の係数を1にします。するとf(s)=1/2sとなります。ここでs=xとおくと解が出ます。これはどちらも変数が変わっただけで代入する数に違いはありません。(グラフ的にイメージするとx軸をs軸としても形が変わらないことからもわかります。ただし2x=sの方は少しつぶれるようになりますがy軸との対応関係は変わりません。)
余談ですが今回はこれが許されたと言うだけで常に成り立つわけではありません。具体的に言うと定義域がある場合です。置き換えの時は対応関係だけでなく定義域は絶対に確認してください
これでよろしいでしょうか
数学弱者の疑問なのでもしかしたら見当違いなことを言っているかもしれませんがお許しください。
私が疑問なのは、1度2x=sとおいて、xについてのsの関数ができているのに、f(s)=1/2sという関数にx=sという「2x=s」とは違うxとsの関係式からそのままf(x)=1/2xとしてよいのか、ということです。
ただ単に理解力がないだけかもしれませんがすみません。
例えばよくある双曲線関数の置換で求められる不定積分∫1/√(1+x²)dxというものについて、今回は√(1+x²)=tと置換してみたとき、これはxについてのtの関数ができていますよね？
x・dx=tdtより、この不定積分はtについて置換したにも関わらず、∫1/xdtという不定積分になります。ですが、1/xはdtについての積分なので定数として見て、t/x+C(Cは積分定数)とはなりませんよね？それはtとxの間に√(1+x²)=tという関数ができていることによりtの不定積分の中にあるxは完全な定数とはみなせないからだと思います。
少し話が逸れましたが、f(s)をs=xとして置くというのは、正直問題として出されたならば解けるのですが、今までこの意味というものを考えて解いたことがなくて、今になってなぜこういう置換ができるのか不思議に思ってしまったからです。同じような要領で、2x=sという関数が成立したからには、f(s)=1/2sというのをf(x)=1/2xとしては変なのでは？と数学初心者の私は思ってしまいました…。
軌跡の問題にも、よくX、Yとして解いていった方程式を最後にX=x、Y=yとして直すことはよくありますが、ああいった問題はなぜかすんなりと受け入れられます。
なにかとても根本的なことを理解できていない気がしてもやもやします。
まず真ん中の例えですがその認識で問題ありません。よっておっしゃる通りそのような置換では解けません。
しかし大切なのは「被積分変数は自由」と言うことです。2x=sのxとs=xのxは少し意味が違います。
s=xのxは置換積分というイメージを持つといいと思います。ds=dxとなりまたf(s)=f(x)であり対応は
s:0→2x
x:0→2x
です。(ごめんなさい。すごくわかりにくくなってます。:の左は被積分変数、右は全体の変数のxです。ここの違いが大切です。よって範囲は変わりません。)
s=xと置く前に与式に代入すると∮0→2xf(s)dsとなり置換すると∮0→2xf(x)dxとなります。
つまりs=xのxは「変数ってなんでもいいけどsy平面は気持ち悪いからxにして答えておこう」ってイメージです。こっちのxには特に2x=sの関係はありません。馴染み深いから置いただけの文字です。
本質的には軌跡の問題と同じです。
どうでしょうか？
f(s)=1/2sと答えても本質的には問題ないですがなんか変なのでf(x)=とするのが普通です。
とても的確でわかりやすかったです！ありがとうございます！
実際f(x)=1/2xとすると
右辺=1/4(2x)^2=x^2となっています。