重要 例題 173 平均値の定理を利
x-0
●基本 171,172
指針 f(x) = COS x と考えたとき, 分子は 差 f(x) f(x2)の形になっている。 よって、
ジの基本例題 172同様,
差f (b) f(a) には平均値の定理の利用
の方針で進める。 それには,平均値の定理により、
x-x
を満たす 01 が存在する。
limx=0, limx2 = 0 であるから
x-0
x→+0
平均値の定理を利用して, 極限値 lim-
x→0
解答
f(x)=cosx とすると, f(x)はすべての実数x について微分可
能であり
AFTOSS (D))
f'(x)=-sinx
よって
[1] x<0のとき
x<x2 であるから,区間[x, x2] において,平均値の定理を
用いると
[+xgol=(x)\\
cosx2-COSx=-sin0,x<br<x2
す。
以上から
an
に表して極限値を求める。 なお, 平均値の定理を適用する区間はx→−0とx→+00
ときで異なるから注意が必要である。
lim
x-0
COSxCOS2
x-x2
を満たす 02 が存在する。
limx2=0, limx=0であるから
x→+0
COS x 2-COSx
よって
=lim(-sin01)=-sin0=0
x2-x
[2] x>0のとき, x→+0 であるから, 0<x<1としてよい。
このとき, x2<xであるから,区間[x2,x] において, 平均
値の定理を用いると
lim
x→+0
=
COS x -COS x 2
x-x2
lim
x0
x-0
.2
COS x - COS x
x-x²
COS x -COS x2
x-x2
limO1=0
x-0
=-sinOz, x2<02<x
を求めよ。
NET
COS x - COS x 2
x-x2
lim02=0
x→+0
=0(*)
=lim (-sin02)=-sin0=0
x→+0
IS Dgoln
Czapoln
171
練習平均値の定理を利用して,次の極限値を求めよ。
4 1 173
ex-1
(1) limlog
を微分係数の形Ufc
1
平均値の定理が適用でき
条件を述べている。
<x<0<x2
f(b) f(a)
b-a
a<c<b
はさみうちの原理。
-=f'(c)
x→+0であるから、
x=0の近くで考える。
f(b) f(a)
b-a=f'(c)
a<c<b
はさみうちの原理。
1
理
か
(*) 左側極限と右側極限が
0で一致したから、 極限値
は0 となる。
