Mathematics
高中

9の解説についてです
なぜ二次方程式だとkは0では無いのか。また、なぜD<0決まるのか分かりません。
kの符号が分からないのでDの符号も決まらないと思いました。

9 すべての実数x について, 2 次不等式 kx2 + (k+2)x+k > 0 が成り立つような定数kの 値の範囲を求めよ。 O kx² + ((+₂)x+ k > o (k+2) ²4k² t - 4K+4-3=2 D keo E>0 ÷4+4-3-+ 4+4-
8 したがって a=-3, 2次方程式 Dとすると D={-(k-1)}^-4・1・(k-2) = -3k²-2k+9 2次方程式 -3k² - 2k +9 = 0, すなわち, 3k²+2k-9=0 を解くと (i) D> 0 すなわち -3k-2k +9 > 0 のとき, 異なる2つの実数解をもつ。 ② の両辺に-1を掛けると 3k²+2k-9 < 0 ①より, ② の解は k= k< c = 24 -1-2√7 3 k= の判別式を (k-1)x+k²-2=0 (ii) D = 0 すなわち -3k²-2k+9=0 のとき、1つの実数解をもつ。 このとき, ① より k< (i), (ii), (i) より -1-2√7 3 k= -1±2√7 3 () D<0 すなわち -3k-2k+9< 0 のとき, 実数解をもたない。 ③ の両辺に-1を掛けると 3k² +2k-9> 0 ①より, ③ の解は 3 -1±2√7 3 -1-2√7 -1+2√7 3 3 -1±2√7 3 <k < −1+2√7 3 求める条件は である。 D<0より <k< −1+2√7 3 のとき -1-2/7-1+2/ <k のとき 1-2√7 D = (k+2)²-4·k·k = -3k² +4k+4 k> 0 かつD 3 <k -3k² +4k+4 <0 3k²-4k-4> 0 (k-2)(3k+2)>0 のとき 2次不等式であるから k0 である。 2次方程式 kx²+(k+2)x+k=0 の判別式を とすると 3 215 1個 046 2 これを解くと k< − ²³, 2<k 3' k> 0 であるから 2<k 教科書 P.121 10 y=ax²+4ax+b =a(x+2)²-4a+b a>0 より, この関数のグラフは下に凸の放物線 であるから, 定義域が −3 ≦x≦4 であるとき 最大値32a+b x=4のとき x=2のとき 最小値-4α+6 をとる。この関数の値域が、-1≦y≦5 となる ことから 練習問題 B 32a+b=5, -4a+b= -1 1 3 したがって 1 = = =/ / ₁ 1 これは α > 0 を満たす。 11 もとの放物線の頂点をx軸方向に4,y 軸方向に -5だけ平行移動した点が点 (1,0)であることか ら, 点 (1, 0) をx軸方向に-4, y 軸方向に5だ け平行移動した点 (-3, 5) がもとの放物線の頂点 である。 したがって,もとの放物線をグラフとする2次関 数は すなわち b=- y=a(x+3)+5 と表される。 この放物線が, 点 (-2, 6) を通るこ とから a+5=6 これを解くと a=1 したがって,もとの放物線をグラフとする2次関 数は y=(x+3)+5 y=x2+6x+14 12 y=kx-2kx+k-k-3 =k(x-1)²+k²-2k-3 (1) この関数が最小値をもつとき, グラフは下に 凸の放物線であり, 最小値が5であるから (k>0 と変形できる。 k2-2k-3=5 ②を解くと = -2,4 ① より k=4 (2) この関数が最大値をもつとき, グラフは上に 凸の放物線であり, 最大値が12であるから (k <0 k-2k-3=12 ②を解くと k = -3,5 ① より k=-3 13 y=x²-4x+7 =(x-2)^+3 ① 2 ① 2

解答

✨ 最佳解答 ✨

仮にk=0だと
代入してみれば分かる通り
この不等式は2x>0となり、1次不等式になります
つまり問題文と矛盾します
よってkは0ではありません

ここまでの「2次不等式を解け」という問題を
グラフを描いてきちんと理解していれば、
今回もグラフを描けばわかると思います

問題は
放物線y=kx²+(k+2)x+kがx軸より上にくるxの範囲が
「すべての実数」となるようなkは?
と言い換えられます
つまり、グラフのすべてがx軸より上にくるようなkの範囲を求めます
それは放物線が下に凸でx軸と交わらない場合しかありません
だからk>0かつD<0です

留言

解答

k=0のとき、2x>0となりますね。これだと1次不等式なので、問題に添いません。
(2次式→x²がないとダメ)

kがマイナスのときのグラフを書いてみると、「全ての実数xについて、kx²+(k+2)x+k>0」にはならないことがわかります。
(y=kx²+(k+2)x+kとすると、k<0のとき、どこかで必ずy<0になる)
よって、kはプラスと分かります。
ここでも同じようにグラフを書くと、グラフがx軸より上側にあればいいので、D<0ということが分かります。

留言
您的問題解決了嗎?