Question

みさと

9の解説についてです
なぜ二次方程式だとkは0では無いのか。また、なぜD<0決まるのか分かりません。
kの符号が分からないのでDの符号も決まらないと思いました。

9
すべての実数x について, 2 次不等式 kx2 + (k+2)x+k > 0 が成り立つような定数kの
値の範囲を求めよ。
O
kx² + ((+₂)x+ k > o
(k+2) ²4k²
t
-
4K+4-3=2
D
keo
E>0
÷4+4-3-+
4+4-

8
したがって
a=-3,
2次方程式
Dとすると
D={-(k-1)}^-4・1・(k-2)
= -3k²-2k+9
2次方程式 -3k² - 2k +9 = 0, すなわち,
3k²+2k-9=0 を解くと
(i) D> 0 すなわち -3k-2k +9 > 0
のとき, 異なる2つの実数解をもつ。
② の両辺に-1を掛けると
3k²+2k-9 < 0
①より, ② の解は
k=
k<
c = 24
-1-2√7
3
k=
の判別式を
(k-1)x+k²-2=0
(ii) D = 0 すなわち -3k²-2k+9=0
のとき、1つの実数解をもつ。
このとき, ① より
k<
(i), (ii), (i) より
-1-2√7
3
k=
-1±2√7
3
() D<0 すなわち -3k-2k+9< 0
のとき, 実数解をもたない。
③ の両辺に-1を掛けると
3k² +2k-9> 0
①より, ③ の解は
3
-1±2√7
3
-1-2√7 -1+2√7
3
3
-1±2√7
3
<k < −1+2√7
3
求める条件は
である。
D<0より
<k<
−1+2√7
3
のとき
-1-2/7-1+2/ <k のとき
1-2√7
D = (k+2)²-4·k·k
= -3k² +4k+4
k> 0 かつD
3
<k
-3k² +4k+4 <0
3k²-4k-4> 0
(k-2)(3k+2)>0
のとき
2次不等式であるから k0 である。
2次方程式 kx²+(k+2)x+k=0 の判別式を
とすると
3
215
1個
046
2
これを解くと k< − ²³, 2<k
3'
k> 0 であるから
2<k
教科書 P.121
10
y=ax²+4ax+b
=a(x+2)²-4a+b
a>0 より, この関数のグラフは下に凸の放物線
であるから, 定義域が −3 ≦x≦4 であるとき
最大値32a+b
x=4のとき
x=2のとき
最小値-4α+6
をとる。この関数の値域が、-1≦y≦5 となる
ことから
練習問題 B
32a+b=5, -4a+b= -1
1
3
したがって
1 = = =/ / ₁ 1
これは α > 0 を満たす。
11 もとの放物線の頂点をx軸方向に4,y 軸方向に
-5だけ平行移動した点が点 (1,0)であることか
ら, 点 (1, 0) をx軸方向に-4, y 軸方向に5だ
け平行移動した点 (-3, 5) がもとの放物線の頂点
である。
したがって,もとの放物線をグラフとする2次関
数は
すなわち
b=-
y=a(x+3)+5
と表される。 この放物線が, 点 (-2, 6) を通るこ
とから
a+5=6
これを解くと a=1
したがって,もとの放物線をグラフとする2次関
数は
y=(x+3)+5
y=x2+6x+14
12 y=kx-2kx+k-k-3
=k(x-1)²+k²-2k-3
(1) この関数が最小値をもつとき, グラフは下に
凸の放物線であり, 最小値が5であるから
(k>0
と変形できる。
k2-2k-3=5
②を解くと = -2,4
① より k=4
(2) この関数が最大値をもつとき, グラフは上に
凸の放物線であり, 最大値が12であるから
(k <0
k-2k-3=12
②を解くと k = -3,5
① より
k=-3
13 y=x²-4x+7
=(x-2)^+3
①
2
①
2

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

仮にk=0だと
代入してみれば分かる通り
この不等式は2x>0となり、1次不等式になります
つまり問題文と矛盾します
よってkは0ではありません

ここまでの「2次不等式を解け」という問題を
グラフを描いてきちんと理解していれば、
今回もグラフを描けばわかると思います

問題は
放物線y=kx²+(k+2)x+kがx軸より上にくるxの範囲が
「すべての実数」となるようなkは？
と言い換えられます
つまり、グラフのすべてがx軸より上にくるようなkの範囲を求めます
それは放物線が下に凸でx軸と交わらない場合しかありません
だからk>0かつD<0です

Answer 2

maple

k=0のとき、2x>0となりますね。これだと1次不等式なので、問題に添いません。
（2次式→x²がないとダメ）

kがマイナスのときのグラフを書いてみると、「全ての実数xについて、kx²+(k+2)x+k>0」にはならないことがわかります。
（y=kx²+(k+2)x+kとすると、k<0のとき、どこかで必ずy<0になる）
よって、kはプラスと分かります。
ここでも同じようにグラフを書くと、グラフがx軸より上側にあればいいので、D<0ということが分かります。