Mathematics
高中
108の(2)の証明の仕方が理解できません。
丁寧に教えていただけたら幸いです
108 次の問いに答えよ。
O
(1) nは整数とする。 対偶を利用して,次
の命題を証明せよ。
n² が3の倍数ならば, nは3の倍数である。
(2) (1) を利用して, √3 が無理数であることを証明せよ。
24
(2) 1+2√6
3
1+2√6
3
-3TRIAL 数学Ⅰ
が無理数でないと仮定すると,
は有理数である。
その有理数をrとすると、 1+2√6
3
√6 = 2
rが有理数ならば
3r-1
2
も有理数であるから,
この等式√6が無理数であることに矛盾する。
したがって,
1+2√6
3
は無理数である。
と表される。
108 (1) 対偶「nが3の倍数でないならば,n²は
3の倍数でない」 を証明する。
nが3の倍数でない (3で割り切れない) とき,
nはある整数kを用いて
3k +1, 3k+2
のいずれかで表される。
[1] n=3k+1のとき
3r-1
n²=(3k+1)2
[2] n=3k+2のとき
=9k2+6k+1
=3(3k²+2k) +1
n2=(3k+2)2
=9k2+12k+4
=3(3k2+4k+1)+ 1
[1], [2] のいずれの場合も,n2は3の倍数でない。
よって, 対偶は真であり、 もとの命題も真であ
る。
(2)「√3 無理数でない」,すなわち
「√3 が有理数である」
と仮定すると, V3は1以外の正の公約数がない
ような2つの自然数m,nを用いて
√√3="
m
=rより
n
と表すことができる。
このとき √3n=m
この両辺を2乗すると 3n²=m²
よって, m2は3の倍数である。
(1) により, m2 が3の倍数ならば,mは3の倍
数であるから
m=3k(kは自然数)
この両辺を2乗すると m2=9k2
① ② から 3n2=9k2
すなわち
n2=3k2
よって,n2は3の倍となり (1) により、nも
3の倍数となる。
mとnがともに3の倍数となることは、mと
に1以外の正の公約数がないとしたことに矛盾
する。
したがって, v3 は有理数ではなく、無理数で
る。
109 (1) 対偶 「mnが奇数ならば,m²+n²は偶
「数である」 を証明する。
mn が奇数のとき,m,nはともに奇数である
ら,ある整数k, 1 を用いて m=2k+1,
n=2l+1 と表される。
このとき
m²+n²=(2k+ 1)2 + ( 21 + 1 ) 2
= (4k²+4k+1) + ( 412 + 4+ 1)
=2(2k2+212+2k +2l+1)
2k2 +212 +2k + 21 + 1 は整数であるから,
m²+n²は偶数である。
よって, 対偶は真であり,もとの命題も真であ
る。
28
(2) 対偶「m+nが偶数ならば, m2+n2は偶数 -
ある」を証明する。
m+nが偶数のとき, m, nはともに偶数か,
ともに奇数かのどちらかである。
[1] m, nがともに偶数のとき
m,nはある整数k', l'′ を用いてm=2k',
n=21′ と表される。
このとき
110
m² +n²=(2k')²+(21′')²
=2{2(k')2+2(1/2}
2(k'2+2(1')'は整数であるから,m²+n²は
数である。
[2] m,nがともに奇数のとき
(1) と同様にして,m²+n²は偶数であること
が示される。
[1], [2] より,対偶は真であり,もとの命題も真
である。
指針■
図をかいて考えるとよい。
AN B, ANB, ANB, Uの要素を順に図
に書き込んでいくと,次のようになる。
解答
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それこそ√3をm/nでおく、なんて発想は普通の高校生にはできないと思います。そういうところは理解っていうよりも、こういうやり方があるんだなぁって、それを覚えようとする姿勢の方が大切だと思いますよ