Mathematics
高中

108の(2)の証明の仕方が理解できません。
丁寧に教えていただけたら幸いです

108 次の問いに答えよ。 O (1) nは整数とする。 対偶を利用して,次 の命題を証明せよ。 n² が3の倍数ならば, nは3の倍数である。 (2) (1) を利用して, √3 が無理数であることを証明せよ。
24 (2) 1+2√6 3 1+2√6 3 -3TRIAL 数学Ⅰ が無理数でないと仮定すると, は有理数である。 その有理数をrとすると、 1+2√6 3 √6 = 2 rが有理数ならば 3r-1 2 も有理数であるから, この等式√6が無理数であることに矛盾する。 したがって, 1+2√6 3 は無理数である。 と表される。 108 (1) 対偶「nが3の倍数でないならば,n²は 3の倍数でない」 を証明する。 nが3の倍数でない (3で割り切れない) とき, nはある整数kを用いて 3k +1, 3k+2 のいずれかで表される。 [1] n=3k+1のとき 3r-1 n²=(3k+1)2 [2] n=3k+2のとき =9k2+6k+1 =3(3k²+2k) +1 n2=(3k+2)2 =9k2+12k+4 =3(3k2+4k+1)+ 1 [1], [2] のいずれの場合も,n2は3の倍数でない。 よって, 対偶は真であり、 もとの命題も真であ る。 (2)「√3 無理数でない」,すなわち 「√3 が有理数である」 と仮定すると, V3は1以外の正の公約数がない ような2つの自然数m,nを用いて √√3=" m =rより n と表すことができる。 このとき √3n=m この両辺を2乗すると 3n²=m² よって, m2は3の倍数である。 (1) により, m2 が3の倍数ならば,mは3の倍 数であるから m=3k(kは自然数) この両辺を2乗すると m2=9k2 ① ② から 3n2=9k2 すなわち n2=3k2 よって,n2は3の倍となり (1) により、nも 3の倍数となる。 mとnがともに3の倍数となることは、mと に1以外の正の公約数がないとしたことに矛盾 する。 したがって, v3 は有理数ではなく、無理数で る。 109 (1) 対偶 「mnが奇数ならば,m²+n²は偶 「数である」 を証明する。 mn が奇数のとき,m,nはともに奇数である ら,ある整数k, 1 を用いて m=2k+1, n=2l+1 と表される。 このとき m²+n²=(2k+ 1)2 + ( 21 + 1 ) 2 = (4k²+4k+1) + ( 412 + 4+ 1) =2(2k2+212+2k +2l+1) 2k2 +212 +2k + 21 + 1 は整数であるから, m²+n²は偶数である。 よって, 対偶は真であり,もとの命題も真であ る。 28 (2) 対偶「m+nが偶数ならば, m2+n2は偶数 - ある」を証明する。 m+nが偶数のとき, m, nはともに偶数か, ともに奇数かのどちらかである。 [1] m, nがともに偶数のとき m,nはある整数k', l'′ を用いてm=2k', n=21′ と表される。 このとき 110 m² +n²=(2k')²+(21′')² =2{2(k')2+2(1/2} 2(k'2+2(1')'は整数であるから,m²+n²は 数である。 [2] m,nがともに奇数のとき (1) と同様にして,m²+n²は偶数であること が示される。 [1], [2] より,対偶は真であり,もとの命題も真 である。 指針■ 図をかいて考えるとよい。 AN B, ANB, ANB, Uの要素を順に図 に書き込んでいくと,次のようになる。

解答

(2)は明らかに背理法を使う証明になりますが、この問題に関しては、理解というより暗記に近いと思います。ここでは√3になってますが、√2などでも同じような証明をします。なので、この模範解答を覚えることが1番手取り早いと思ってます。

純情ラテ

それこそ√3をm/nでおく、なんて発想は普通の高校生にはできないと思います。そういうところは理解っていうよりも、こういうやり方があるんだなぁって、それを覚えようとする姿勢の方が大切だと思いますよ

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