Question

微涼🌊

求解～～謝謝🙏

9. 如右圖,矩形 PQRS 的四個頂點分別在矩形ABCD 的四個邊上。
若PQ=3,QR =5,求矩形 ABCD 的周長最大值為
P
To
B e
S
O
R
C

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

Cobe

令PB=a, BQ=b, QC=c, CR=d
則長方形短邊AB=a+d
AD=b+c
周長為2(a+b+c+d)
且a^2+b^2=9
c^2+d^2=25
由科西不等式
(a^2+b^2)(1+1)>=(a+b)^2
--->18>=(a+b)^2
a+b的最大值根號18=3根號2
同理，c+d的最大值為根號50=5根號2
最大周長為16根號2

微涼🌊

好的謝謝您～🙏

Cobe

👌

可知

另解：
題目有幫你假設 θ
則 PB=3cosθ, BQ=3sinθ
不難證明發現，外圍的四個直角三角形都是相似形，因此
ㄥRQC=ㄥBPQ=θ
所以又有 QC=5cosθ, RC=AP=5sinθ

因此矩形ABCD的周長為
f(θ)=2×(5sinθ+3cosθ+3sinθ+5cosθ)
=16(sinθ+cosθ)
同角度的正弦和餘弦可以疊合，因此
=16√2 sin(θ + π/4)
因為當θ=π/4時，sin(θ+π/4)的最大值是1
故周長 f(π/4)=16√2 為最大值。