Question

omochi

なぜa+bが7で割り切れたらa^2-b^2も7で
割り切れるのか知りたいです。
(黄色の線が引かれてるところです)

お願いします！

割り算の余りの性質
2つの整数a,bを7で割ったときの余りがそれぞれ3, 4 である
教 p.146
18
とき、次の数を7で割ったときの余りを求めよ。
(1) a+b
(2) 2a-3b
(3) a²
指針 割り算の余り α, bを7×(商)+(余り) の形で表し, (1)~(4) をそれぞれ計
算する。その計算を7×(商)+(余り) の形に変形し, 余りを求める。
答a,b は, k, lを整数として,次のように表される。
a=7k+3,
b=71+4
(1)a+b=(7k+3)+(71+4)=7(k+Z+1)
よって, a+bを7で割ったときの余りは 0
(2) 2a-3b=2(7k+3)-3(71+4)=7(2k-31)+6-12
=7(2k-31-1)+1
よって, 2a-36を7で割ったときの余りは 1圈
(3) α²=
(7k+3)=7k²+2・3・7k+3°=7(7k²+6k+1) +2
よって, a2を7で割ったときの余りは 2
(4) α²-b2=(7k+3)^ー(71+4)
(4) a²-6²
=(72k²+2.7k・3+3²) - (7212+2･7Z・4+4² )
=7(7k² +6k-71²-81)+9-16=7(7k²+6k-71²-81-1)
よって,α-b2を7で割ったときの余りは 0
別解 (4) α2-6²=(a+b)(a-b)
(1) より a +6は7で割り切れるから, a-bも7で割り切れる。
よって, ²-62を7で割ったときの余りは 0
注意 それぞれの余りは, a, b の余りに注目すると,
(1) では 3+4を, (2) では2･3-34 , (3) では 32 , (4) では 32-42 を,
それぞれ7で割ったときの余りに等しい。

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

えだまめ🫛

a²-b² = (a+b)(a-b) となるので

a+bが7の倍数ならa²-b²も7の倍数になります