Question

C

想求一下這題的計算過程！

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10.設x 為實數,若方程式|x-2|+|x+6|=k有解,試求實數k的最小值為何?
$ (8)
GEED
REST
(1)

高一數學

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

可知

根據三角不等式，有|a|+|b|≥|a+b|。
所以 |x–2|+|x+6|
=|2–x|+|x+6| ≥ |2–x+x+6|=8
最小值就算出來了，k=8。

C

了解！謝謝幫忙~

C

想問一下此題只能用三角不等式算嗎？因為三角不等式還沒教QAQ

可知

好，我用討論法解決：
ㄓ首先，找絕對值可以等於0的點
即 x=2, –6，畫個數線圖有
① ② ③
---------+--------+--------->
–6 2
分成三區來討論。

①區 代表 x<–6
兩個絕對值裡的數都是負數，所以拆掉絕對值都要補負號：
–(x–2)–(x+6)=k
–2x–4=k
x = (k+4)/(–2) < –6
k+4>12
k>8。

②區 代表 –6≤x<2
此時 x+6≥0 且 x–2<0，拆掉絕對值後：
–(x–2)+(x+6)=k
k=8。此時對於任意 –6≤x<2 均成立。

③區 代表 x≥2，此時兩個絕對值裡的數都是正數。拆掉絕對值後：
(x+2)+(x–6)=k
2x=k–8
x = (k–4)/2 ≥2
所以 k≥8。

把這3區的討論拿來看一下：
k>8, k=8, k≥8
合併這三個k的範圍，其實就是k≥8
因此，最小值還是8。

不過，三角不等式可以直接解決這問題
原理就是，三角形的兩邊和大於第三邊。
這樣。

C

明白！謝謝幫忙！！！

可知

阿那我正負打反了！抱歉> <
對的……是 x–2 + x+6 =k

C

沒事沒事！我剛剛以為我看錯又默默把留言刪了XD

可知

然後是 2x = k–4
x = (k–4)/2 ≥2
k–4≥4
k≥8
抱歉 中間可能打太快 sorry

C

沒事沒事 謝謝幫忙！

可知

謝謝妳發現我打錯字了！~~
（絕對值討論法就大概就是這樣~其他絕對值題目都大同小異~）
不用客氣！有問題的話再問我~

C

好！！謝謝大善人！