Question

小金魚

直線與圓 請問51～53題可以怎麼算呢？對不起問題有點多，我一點頭緒都沒有_(´ཀ`」 ∠)_
謝謝🙏

(2) m =
;此時P點坐標為
,Q點坐標為
.2
(51)設(a,b)為二次曲線x²+y^-6x-2y+9=0上的點,則a+b²-26 的最大值為
52 若圓x² + y + ax+by+14=0與直線x-2y=3c 相切於點 (5,1),則序組(a,b,c)=
53.一圓過兩點 (1,2),B(3,4)且與x軸相交二點之截距差為6,試求此圓之方程式為
54.若直線L:x-y-2=0與圓C: x² + y = 25 交於 A, B 兩點,則
(0) In
。

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

可知

51. 將二次曲線配方改寫為
(x–3)²+(y–1)²=1，為圓心(3,1)的圓，半徑為1。
而a²+b²–2b=a²+(b–1)²–1

因為a²+(b–1)²的幾何意義是，
圓上的點(a, b) 到定點(0,1)的距離再平方。
然後等一下要記得–1。
畫個圖可以知道(參考下圖)，
圓上的點(4,1)離(0,1)最遠，故
a²+b²–2b的最大值為 4²–1=15

52.先把切點(5,1)代入x–2y=3c，求出c=1。
接下來，將圓的一般式配方改寫為
(x + a/2)² + (y + b/2)² =–14 + a²/4 + b²/4
圓心是(–a/2,–b/2)
因為從切點到圓心的線段，會與切線垂直
而x–2y=3的斜率是1/2，那麼相乘–1的關係，
另一條直線斜率是–2，又通過點(5,1)
點斜式寫出
y–1=–2(x–5)
這直線會通過圓心，把圓心代入
–b/2–1 = a+10
2a+b=–22

另一個條件是，圓心到(5,1)的距離就是半徑，
也就是
(–a/2–5)²+(–b/2–1)²=–14+a²/4+b²/4
5a+b+25+1=–14
5a+b=–40
可以解聯立了，得a=–6, b =–10。

53. 等等補留言，字數有限制

可知

53. 假設此圓的圓心座標是(k, h)
那麼，截距差是6
就代表(k–3,0) 和 (k+3,0)也是圓上的兩個點。（可以畫個圖看看）

然後令圓方程式長這樣：
(x–k)²+(y–h)²=r²
因為(k–3,0)代入圓方程式得
9+h²=r²

又圓心(k, h) 到(1,2)的距離平方是
r² = (k–1)²+(h–2)² = 9+h²
k²–2k+1+h²–4h+4=9+h²
k²–2k–4=4h
h = (k²–2k–4)/4

最後，利用(1,2), (3,4)兩點連線為弦，
而弦的中垂線會通過圓心：

(1,2),(3,4)兩點的直線斜率是 1
中點是(2,3)，中垂線方程式為
y–3 = –1(x–2)
把圓心(k, (k²–2k–4)/4)代入中垂線方程式：
(k²–2k–4)/4 –3 =–1(k–2)
k²–2k–4=–4k+20
k²+2k–24=0
(k+6)(k–4)=0
k=–6,4，

於是有兩個圓滿足此題敘述，
k=–6時，h=11, r²=9+121=130
→(x+6)²+(y–11)²=130

k=4時，h=1, r²=9+1=10
→(x–4)²+(y–1)²=10。

因此答案有兩個。

小金魚

太厲害了！！！謝謝大神（膜拜ヾ(*’Ｏ’*)/

可知

不客氣！