(8)
例題266 倍数の和 約数の和
思考プロセス
IA
161
1000以下の自然数のうち, 3 または7の倍数の総和を求めよ。
(2) 10" の正の約数の総和Sを求めよ。 ただし, nは自然数とする。
IA I
170
既知の問題に帰着
(1)
/3 または 7
の倍数の和
(3の倍数)+(7の倍数)の
和
( 等差数列の和)
(2) 10"=2".5" より
3+6+9+..
解 (1)1000=3×333+1 より,1000 以下の3の倍数を小さ
い方から順に並べると,初項 3, 末項 999, 公差 3, 項数
333の等差数列となる。
よって, その和 S1 は
S = (1 +2 + 2°+ … +2") (1 +5+5°+…‥. +5")
S₁ =
=
等比数列の和
Action》倍数の和は等差数列, 約数の和は等比数列の和を利用せよ
•
1
333(3+999) = 166833
2
同様に,1000= 7×142 +6 より 1000 以下の7の倍数
の和 S2 は
S₂ = 1/2
S2 ・142(7+994) = 71071
さらに,1000 = 21 × 47 + 13 より 1000 以下の21の倍
数の和 S3 は
の和の倍数)
1
S3 = ・47(21+987) = 23688
2
したがって,3または7の倍数の総和は
S1+S2-S3214216
10=2.5" であるから, 10" の正の約数は
2.5D (i = Q2_1, 2,
...,n, j = 0,1,2,・・・, n)
で表される整数である。
よって,これらの約数の総和 Sは
S = (1 +2 + 2°+・・・ + 2 ) (1 + 5 +5 + ・・・+5")
1(2+1−1) 1 (5+1−1)
2-1
5-1
1
=1/12 - (2n+1 − 1)(5¹+1 − 1)
3の倍数7の倍数
w
口の倍数
3の倍数 7の倍数
21の倍数
1000以下の7の倍数を小
さい方から順に並べると、
初項 7, 末項 994, 公差 1,
項数 142 の等差数列となる。
1000以下の21の倍数を
小さい方から順に並べる
と,初項 21, 未987, 公
差 21 項数47 の等差数
列となる。
01, 2, 22, ..., 2
比2,1,55, ···.5
は公比5の等比数列であ
り、ともに頂数は
である。
ありがとうございます!