156
重要 例題 102 放物線と円の共有点
放物線y=x2+αと円x+y=9について,次のものを求めよ。
(1)この放物線と円が接するとき,定数aの値
(2) 異なる4個の交点をもつような定数aの値の範囲
$%........
指針▷放物線と円の共有点についても、これまで学習した方針
共有点 実数解 接点 ⇔ 重解
で考えればよい。
この問題では,x を消去して、yの2次方程式(y-a)+y²=9 の実数
解,重解を考える。放物線の頂点はy軸上にあることにも注意。
(1) 放物線と円が接するとは,円と放物線が共通の接線をもつこと
である。この問題では、 右の図のように, 2点で接する場合と1点
で接する場合がある。
2点で接す
(2) 放物線を上下に動かし, (1) の結果も利用して条件を満たすαの値の範囲を見極め
解答
(1)y=x2+αから
x2=y-a
これを x²+y²=9に代入して
よって
x2+y-a-9=0
ここで, x2+y2=9から
[1] 放物線と円が2点で接
する場合
2次方程式 ① は ② の範囲
にある重解をもつ。
=4a+37
......
①
x2=9-20
よって, ① の判別式をD
とすると
D=0
D=12-4・1・(-a-9)
(y-a)+y2=9
であるから
このとき, ① の解はy=-
[1] a=-
-3
3
4a+37= 0 すなわち
0
-3
37
4
13
37
a=-
4,
ゆえに
[2]
4
(p
[2] 放物線と円が1点で接する場合
図から,点(0, 3),(0, -3) で接する場合で
以上から, 求めるαの値は
±3
日
(2) 放物線と円が4個の共有点を
-3
07
-3≦y≦3:
a=-3
5 YA
3
0
374038
009 37 38730
a=-
4
1212となり、②を満たす
a=±3
13
x を消去すると,yの
方程式が導かれる。
基本95
x
3
1点で
接する
a=3
\YA
-3 0
2次方程式
by2+qy+r=0の重
y=19
2p
頂点のy座標に注目
