f'(x)は必要条件から出たa=1より分子の二次関数は下に凸とわかるから必ず問題のx=5で極大値、x=7で極小値を取るのは自明だと思うのですが、何故十分性を確認する必要があるのですか？
304
基本例題 178 極値の条件から関数の係数決定
関数f(x)=
ax2+bx+c
x-6
定数 α, b,cの値を求めよ。
解答
定義域はx=6である。
f'(x)=-
練習
② 178]
(2ax+b)(x-6)-(ax²+bx+c)
(x-6) ²
ax²-12ax-(6b+c)
(x-6) ²
x=5で極大値3をとるから
x=7で極小値7をとるから
よって
指針f(x)がx=α で極値をとる⇒f'(α)=0 であるが, この逆は成り立たない。
よって,題意が成り立つための必要十分条件は
(A) x=5で極大値3 →f(5)= 3, f'(5)=0
x=7で極小値7 → f(7)=7, f'(7) = 0
(B) x=5の前後でf'(x) が正から負に, x=7の前後でf'(x) が負から正に変わる。
を同時に満たすことである。
ここでは, 必要条件 (A) から, まずα, b,cの値を求め,逆に, これらの値をもとの関数に
代入し,増減表から題意の条件を満たす (十分条件) ことを確かめる。
!
はx=5で極大値3,x=7 で極小値7をとる。
f(5)=3, f'(5)=0
f(7)=7,f'(7)=0
-25a-56-c=3, -35a-6b-c=0,
49a+7b+c=7, -35a-6b-c=0
これを解いて a=1, b=-7, c=7
逆に, α=1,6=7,c=7のとき
f(x)=x2-7x+7
x-6
f'(x)=
f'(x)=0 とすると
x=5, 7
関数 ① の増減表
は右のようになり,
条件を満たす。
よって
[参考]
(x-6)²
1
x2-12x+35_(x-5)(x-7)
=
x
5
f'(x) + 0
f(x)
7
極大
(x-6)2
・)当然40)は同じ
値で出てくるから
式も同じ
6
ax²+bx+c
関数f(x)=
x2+2
とき,定数a,b,cの値を求めよ。
:
7
0 +
極小
a=1,b=-7,c=7
lim f(x)=∞, lim_f(x)=-∞であり, y=f(x)のグラフの
x→6+0
6-0
概形は右のようになる (詳しくは p.311以降で学習する)。
00000
はx=-2で極小値 1/12
2'
このとき
◄ (#)' = -
基本177
定義域の確認。
YA
u'v-uv
02
基
■第2式と第4式は同じ式。
第1式~第3式を連立して
解く。
この確認を忘れずに!
指針
<f'(x) は, (*) に a=1,
b=-7, c=7 を代入して
求めるとよい 。
3
6
A
57
-x=6
C
`y=x-1
A
定
y
x=1で極大値2をとる。 この
[横浜市大)
問題文から式は極値を取ることは確定していませんか？