解答

對於單變數函數y=f(x),我們有:dy=f'(x)dx
同樣的,對於雙變數函數z=f(x,y),我們有全微分:dz=(∂z/∂x)dx+(∂z/∂y)dy ---以切平面逼近曲面
這看起來好像搆不著邊的∂x、dx其實把偏微分的定義拿出就很清楚了:
若z=f(x,y),∂z/∂x=lim_(dx→0) (f(x+dx,y)-f(x,y))/dx
所以dz=(∂z/∂x)dx+(∂z/∂y)dy可改寫成:
dz=f(x+dx,y)-f(x,y)+f(x,y+dy)-f(x,y)
dz/dx:z對x的微分,即視z=f(x),x為某值上的切線斜率(zx平面)
∂z/∂x:z對x的偏微,即視z=f(x,y,...)當除x外其餘變量固定時n維曲面的x方向的切線斜率
例如若z=f(x,y),則∂z/∂x為3維曲面z=f(x,y)上(x,y,f(x,y))這點x方向的切線斜率

舉個例子
若y=x^2
z=f(x,y)=x^2+y^2
則由全微分:dz=(∂z/∂x)dx+(∂z/∂y)dy=(2x)dx+(2y)dy
y=x^2代入上式
dz=2x dx+2x^2 d(x^2)
dz/dx=2x+2x^2 d(x^2)/dx=2x+2x^2(2x)=2x+4x^3

y=x^2代入z=x^2+y^2
z=x^4+x^2
dz/dx=4x^3+2x與上相同
可參考
http://calcgospel.in/wp-content/uploads/2013/01/11-04-%E5%85%A8%E5%BE%AE%E5%88%86.pdf
https://zhidao.baidu.com/question/715556541911149165.html

留言
您的問題解決了嗎?