Question

森

白チャート数学Ⅲの「ド・モアブルの定理」の問題です。
赤い四角の部分が疑問点です。

赤い四角には「z=cosθ+ℹ︎sinθと置く」と書かれていますが、　z=r(cosθ＋ℹ︎sinθ)と置くのではないのでしょうか？

問題文の下のchart & guideに
「|z|^n=1 であるから|z|=1 よってz=cosθ+ℹ︎sinθと置く」と書いてありますがイマイチよく分かりません。

XAK
22
1のn乗根
基礎例題11
nは自然数とする。方程式 z"=1 を解け。
CHART
GUIDE)
方程式 a"=1 の解法
る, 1を極形式で表してド·モアブル活用
よって2=cos0+isin@ と表される。1=cos0+isin0
|2『=1であるから|2|-1
から、"=1 の両辺の偏角を比較する。
解◆答
2"=1 のとき |2|=1 から
|2|>0 であるから
ゆえに2=Cos0+isin0 とおくと
|『=1
ーxが実数で
|2|-1
より
h0
.0
1=cos 0+isin0
x"=1
ならば
2=COS nU+isin nd
まだ
nが奇数のとき
x=1
よって
coS n0+isinn0=cos0+isin0
nが偶数のとき
の両辺の偏角を比較すると
x=±1
2kx (kは整数)
なお,nを自然数とする
とき,n乗すると1にな
n0=0+2kr
すなわち 0=
となる。逆に,kを整数として
る数を1のn乗根とい
う。
2k元
+isin
2k元
2=COS
の
とおくと る=1 が成り立つから,は1のn乗根である。
また,Zn+ と 2の偏角は 2x だけ異なり、絶対値はともに1で
あるから Zn+ル=Z。が成り立つ。
よって,Oののうち,互いに異なるものは zo, 2, Z2
2ョ-1のn個で、0s0<2xの範囲で考えたものに等しい。
したがって,求める解は
-れに
9- 2sず。
2k元
2k元
+isin
n
(k=0, 1, 2,
2=COS
n-1)
れ
Lecture
1のn乗根
上の解でk=1 としたものを z」=COS
2元
2元
とおくと、ドモアブルの定理から
+isin
n
1のn個の n乗根は 1,z, 2,
そして,これらを表す点は,単位円の円周のn等分点になっている。
2」
ガー1 で与えられる。
レ

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

浪

rは複素数zの原点からの距離でしたよね。
|z|＝1というのは原点からの距離が1ということを表しています。したがってr＝1となるわけです。

森

返信遅れてしまい、すみません。
ありがとうございました。