Question

魚見さん

［１］青枠について、原始関数を求めて計算を簡略化しているのだろうと思いますが、どう考えれば①と②が思いつくのでしょうか？

［２］赤線について、なぜ極限をとるとこの部分が"0"になるのでしょうか？

[授業用問題]
aを正の実数とし,0 を原点とする cy 平面上に,曲線 Ci:y=e-" sin?(ax)と曲線
C2:y=e-* がある.曲線 C,と C。 との共有点のうちx座標が正のものを,c座標が小さ
いものから順に P,. P2. Ps. とし、第n番目の共有点を P» とする。
(1) 点 P のx座標を C, とするとき、C,,をnとaを用いて表せ。
(2) nScS Cッ+1 の範囲で、2つの曲線 Ci.Coによって囲まれた部分の面積をa の関
数と考えて S(a) とする.S,(a) をnとaを用いて表せ。
CO
(3) S(a)= E S,(a) とするとき,lim S(a) を求めよ。
(07 京都府立大)

(2)e-2e-*sin?az だから
エn+1
S,=
(e--e-*sin?a) de
リェn
-cos2az)} da
フェn
1
nIn+1
="(e-*+e-*cos 2az) dz
2 Jェn
ここで
(e-"cos2az)'=-e-"cos2az-2ae-"sin2ax
…0
(e-"sin2az)'=-e-"sin2az+2ae-"cos2a
D-の×2aより
(e-"cos2ax-2ae-"sin2az)'
=ー(1+4a°)e-" cos 2az
So
Je-*cos2azdz
e-Icos2ar-2ae~"sin2az
1+4a?
+C (Cは積分定数)
e-"cos2ax-2ae-"sin2ar 1*n+1
1
-e-エ-
2
S.=
1+4a?
エェ
sin 2aエ,=0, cos 2az,=-1 であり,
4a?
-e-tn に注意して
1+4a
ーe-エn+
1
e-エn=
1+4a?
2a?
S=
e
1+4a?
2a°
. S,=
1+4a°
2n-1
1-e
e
2a
a
(3) のを用いる。
2a?
S(a)=
2(-e-n+1+eエn)
1+4a? n=1
2a?
1+4a?
三
2a?
2m+1
-e
2a
te 2a
1+4a?
2a°
-e
1+4a?°
1
*て
2a
m
S(a)=lim E S,(a)=
m→o n=1
lim S(a)=
2

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

かき

1
sinやcosは微分積分しても符号は違えど互いの形になります。
一方 e^x などの指数関数は微分積分しても形を変えません。
なので、原始関数を求めるために、これらの合成関数を微分してヒントを得たんだと思います。

2.
該当部分はm→∞のとき、e^(-∞)=1/e^∞ → 0
となるからです。