Question

ら

変形の仕方が上手く理解できません。よろしくお願いします

10.
6
8. 数列(z} が次の漸化式を満たしている。
650
第1章
?+1
Ci+1
2
1
2
( すべての自然数iに対して,Ii+12Ii が成り立つことを示せ。
( |S1 のとき, すべての自然数iに対して エS1 であることを示せ
(1) す
(3)自然数nに対して, 等式 En+1-I="
15(エ-1)? が成り立つことを示せ。
(2) す
(3) li
44) ||S1 のとき, In+1-エ(エn-1)? が成り立つことを示せ。
2
( 初項 I」の値に応じて, 数列 {エ} の収束, 発散について調べ,収束する
ときは極限値を求めよ。
11. 名
(お茶の水女子大
9. y 平面上に2つの円
2 の
で定と
\2 )n1-2mil,
Co:a+(リー G: (r-1)"+(リー)ー)
4
2
4

(2)(1)よリ L』
i=k(k=1, 2, …)のとき, IルS1 であることを仮定すると
,2+1
-A1
2
i=1 のとき |<1 であるから I<1.
然自
エ+1s1
Ce+1
が成り立つことから, 帰納法により, エS1 (i=1, 2, 3, …)
が示された。
(+1-)=2(z-1)?
IS- (8-ー ューn)
その
i=1
i=1 2
であるから,(Xコ- 又1 1) 1(ス)-)
n
Cn+1-C1=
2=1
(4)(1), (2) により,
ま料き 「く
C1S2SI;S… ハEnミ…<1.
これにより,(z;-1)?>(z+1-1)?に注意すると,
使えそう
n
In+1-I 2 (エn-1)?
=(エnー1)".
ニ
2

an-1二
n
(an-120 のとき),
(an-1<0 のとき)
第1章 極 限
11
(5) |2|S1 のとき,②により
8.8=n(エnー1)?ハト (En+112)
n
ハ2(1-).
n
はずです。 この
であるから, n→8 のとき,
ア
- 2(1-1)
0<1-InS
0.
n
したがって,はさみうちの原理により lim.cn=1.
A-A ()
n→0
|>1 のとき, ①より, I2>1 であるから,(1)より, 。A
1<|2<22くrsく…。
このとき(z-1)?>(_ail-1)? に注意をすると, ②より, n→8 のとき
En+1=2+2(:-1)?2z+(l-1)? → 8.
…0
したがって lim.In=o,
n→0
以上より,
im
|2.|S1 のとき,収束して limEn=1,
n→0