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上面例題過程是正確的，下面演練是因為鏡射方陣M的反矩陣M^-1=M，所以看起來好像是直接乘...
因為你是要找變換後的點(或向量)，前面要乘反矩陣是因為你需要將原變數代回原方程式...舉個例子：y=x向右平移1單位，大家都知道新直線為y=(x-1)，但為啥？因為若原來直線上的點P(x,y)，經平移後的點P'(x',y')，其中x'=x+1,y'=y，故整理成x=x'-1,y=y'代回原式，得y'=(x'-1)，要這樣處理是因為不同函數的變數都代表不同事情，是不相干的，要代回原函數，只能用原函數的變數。
要怎麼知道x’ y’一定會大於零呢
這段話不太懂「經平移後的點P'(x',y')，其中x'=x+1,y'=y，故整理成x=x'-1,y=y'代回原式，得y'=(x'-1)，要這樣處理是因為不同函數的變數都代表不同事情，是不相干的，要代回原函數，只能用原函數的變數。」
問題1：要怎麼知道x’ y’一定會大於零呢？因為題目說選項的點變換後要變成第一象限的點，所以我設變換後的點叫(x',y')，故x'>0,y'>0(第一象限原則上是不包含軸的，所以我覺得選項的圖示直線部分應該以虛線表示)
問題2：關於那段話其實是合成函數，同一個式子中的未知數，代表同一件事，舉個例子：函數f(x+1)=x-1，當x=1代入f(x)得f(1+1)=1-1，那要如何推求f(x)=？實際上就是用合成函數的觀念，設x'=x+1，得f(x')=x'-2，可以檢驗x=2的時候，f(2)=0確實成立，所以這個例子就是說明f(x+1)=x-1與f(x)=x-2是完全不同的事，這個觀念可以類推到伸縮對稱平移，而矩陣中的伸縮矩陣也是用個觀念寫出關係式，並不是背公式的
上述結尾指的完全不同的是指變數x的部分，建議利用平移觀念去了解合成函數即可，對矩陣變換直線和二次曲線會有幫助
x’y’是xy轉換過去的 要怎麼知道轉換過去還會是大於零呢 會不會有可能答案左右顛倒
"x'y'是xy轉換過去的 要怎麼知道轉換過去還會是大於零呢 會不會有可能答案左右顛倒"這個問題你完全想相反，是已經確定x'y'均為正數，然後去判斷xy該在何處，所以我上面那個附圖x'=3x-y>0，就說明了x'要為正數，轉換前的xy要滿足3x-y>0
"能再解釋一下方向向量的用法嗎？"我上面那個是因為題目理解錯誤，那個解法是錯的。不過你要知道方向向量的解法的話我這裡附上，概念是找x、y是由哪兩個基底向量形成的線性組合，用向量的好處是方向可直接決定x、y落在的區域。
等號左邊：變換後的點(x',y')在第一象限，可用線性組合表示出來，就是x'(1,0)+y'(0,1)
等號右邊：猜變換前的點(x,y)是由直線L1的方向向量(a,b)和直線L2的方向向量(c,d)做線性組合出來的，也就是x(a,b)+y(c,d)
至於符號"^"是"且"
「是已經確定x'y'均為正數，然後去判斷xy該在何處，所以我上面那個附圖x'=3x-y>0，就說明了x'要為正數，轉換前的xy要滿足3x-y>0」要怎麼確定他一定是正數呢
所以你那個問題正是原題目要問的~
但是換過去的點也不是所有都是大於零啊～也有第四象限的
你式子要解讀出來，(x,y)是變換前的點，(x',y')是變換後的點，也就是(x',y')=(3x-2y,4x+2y)，所以直線上3x-2y=0的點(x,y)，相當於變換後跑到y軸上(因為x'=0)，4x+2y=0上的點(x,y)同理，可看成變換成x軸上的點(因為y'=0)，而在3x-2y>0且4x+2y>0的區域中的(x,y)，均可看成變換後是在第一象限的點(因為x'>0,y'>0)
建議你可以舉舉看例子，看有沒有在那個範圍內經變換跑到第四象限的點，因為如果有，不會只有一個，應該滿容易找到的!
「(x',y')=(3x-2y,4x+2y)，所以直線上3x-2y=0的點(x,y)」這樣不就又變成是直接轉換了嗎～這樣是說有些可以直接轉換 有些不行嗎？這樣哪些可以哪些不行呢？
上面這樣討論下來，感覺你是糾結在什麼時候可以直接做線性變換，什麼時候要乘上一個反矩陣變換，如果你的問題是我說的這樣，那你最根本的問題是，你對於變數間的關係是混亂的(函數關係)，哪個是變換前哪個是變換後感覺你有點搞不清楚，導致以上這些問題，點都是可以直接作變換的，沒有例外(當然這裡不討論線性變換M的det(M)=0的狀況)，但重點是題目是在問什麼，我們會根據題目的問法作算法上的調整，建議你先釐清變換前後的變數。
我用的軟體是Geogebra。然後你附圖片的點變換是錯的，你是要取選項(B)區域內的點變換看是不是會在第一象限吧!?怎麼會是取第一象限的點變換?
如果今天有一條線是x=0 然後經過［3 -1 4 2］那個矩陣轉換 那不是用x=0上面的點去換嗎 然後新的點再求出直線方程式得到新的方程式？
但是如果用y=0去解x x的範圍就只有在y=0的時候 但是題目不是要求x「全部」的範圍嗎 圖中也有顯示 x的範圍不只在+-根號5/5之間啊～
照你的方法，我用反矩陣把第一象限的點(x',y')變換，結果是一樣的，這個方法確實就是用x=0上的點去變換成(B)選項中的某一條直線。然後你上面那個也用反矩陣處理，代入x>0,y>0不合的圖，你的(x',y')才是在第一象限的吧?變換後的點(x,y)當然不一定滿足x>0且y>0(實際上是滿足x>0且y為實數，可由方向向量的線性組合看出來)
那圓形那題～我用C上假設的點x y轉換得到x’ y’ 是因為高中還無法直接用點求出斜橢圓點方程式 所以才會用反方陣嗎
也不算是吧，因為斜橢圓就只是列成ax^2+bxy+c^2+dx+ey+f=0，然後在圓上找6個點變換後代入那條...不會有人想算的，所以用變數代換的方式是最簡單直接的。
謝謝你
那這題為什麼可以直接乘呢