そもそも
平方完成や因数分解をすることで
『何が分かるのですか？』
それが分かっていないから
どういうときにどちらを使えばいいのかが分からないのですよ。
今一度、そのあたりを中心に
勉強しなおしてみてください。
数学の先生が答えを言わないのは
答えだけを教えたところで
きちんとした理解をしないまま分かったつもりになってしまうということが
分かっているからです。この状態になってしまうと、
次に忘れた時（こういう覚え方をしたものはすぐに忘れます）に
どうにもならなくなるのです。教えてくれなかった数学の先生は
素晴らしい先生だと思いますよ。
あなた自身が調べて、納得して理解したものは
忘れないですし、忘れたとしてもすぐに思い出せるのです。
そういう、自分の頭で考えて理解する、ということがとても重要なのです。
確かに、それっぽいところ、は、そうではありますが
もう少しいい表現ができればよかったかもしれませんね。
その先生に代わってお詫びします。
おわびついでに少しだけヒントを。
二次方程式を解くのに因数分解を使いますが
因数分解をすることで何が分かるのでしょう？
もちろん、方程式の解なのですが、
方程式の解が意味するところ、ということです。
グラフとの関連で言うと・・・
このグラフとの関連、「グラフの○○○○○○○」
これを求めるのが因数分解の役目であり、
これを求めたいときに因数分解をする、ということになるのです。
では、平方完成の方はどうか。
これは自分で考えてみてください。
○が１つ多かったですね
「グラフの○○○○○○」です。
自分で調べます。
あと、お言葉ですが教員が それっぽい時に使え、というのはどうかなと思うのです。と、ここで言ってもどうにかなるものではないですが。