Question

サスケ

「a>0,b>0であるとする。相加相乗平均の関係よりa+b≧2√(ab)」
について、この不等式はa>0,b>0の時にa,bが存在するための十分条件なのでしょうか？

今までこの不等式は必要条件に過ぎないと思い込んでいたので反例が怖くて、あまり積極的に使ってこなかったのですが、問題集などでは結構使われていたので、もしやこれ反例は存在しないのでは？と思いました。

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

HS

確かに必要十分条件です。

この不等式が、
「左辺は右辺以上のすべての値をとりうる」
という意味ではなく、
単なる大小関係でしかないことに注意して

a+b ≧ 2√ab　両辺非負より2乗しても同値
⇔(a+b)^2 ≧ 4ab
⇔(a-b)^2 ≧ 0
⇔a-bは実数

はじめの不等式の左辺a+bも実数。abは非負。
a+bもa-bも実数だからa,bも実数。

aもbも負だとはじめの不等式が成り立たないから
aもbも正。

遠回りなことや、質問と違うことを
言っているかもしれません。

反例がありうるからと言って避けるには
有用すぎる不等式だと思います。