✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨
結局はすべて解かないとダメなようです.
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(i)条件からg(a)=3sin(a)-4cos(a)=0⇔cos(a)=(3/4)sin(a)
sin^2(a)+cos^2(a)=1なので{1+(3/4)^2}sin^2(a)=1⇔sin^2(a)=(4/5)^2
0≦x≦πの範囲を考えているからsin(a)=4/5(>0)と決まる. このときcos(a)=(3/4)*(4/5)=3/5.
正弦と余弦が共に正なので0≦a≦π/2の範囲にあることが分かる.
半角公式からsin(a/2)=√[{1-cos(a)}/2]=1/√5.
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(ii)2曲線y=f(x)とy=g(x)の共有点のx座標をbとすると
5sin(b)=3sin(b)-4cos(b)⇔sin(b)=-2cos(b)
正弦と余弦が異符号であることからπ/2≦b≦πの範囲にあることが分かる.
sin^2(b)+cos^2(b)=1からcos(b)=-1/√5, sin(b)=2/√5と決まる.
cos(b)=-sin(a/2)⇔cos(b)=cos((π/2)+(a/2))
0≦x≦πで余弦関数は単調減少, すなわち1対1対応な関数なので
b=(π/2)+(a/2)=(π+a)/2がいえる.
そこがこの問題の難所ですね.
cos(b)=-sin(a/2)は(i)の結果から[そういう理由で小問があったわけ]です.
cosとsinの値を直接比較することは簡単ではありません.
そこで一方に揃えたいわけですが, sinは0≦x≦πで一つの値に決まりません.
例えばsin(π/4)=sin(3π/4)=1/√2があげられますね.
一方, cosは0≦x≦πで1から-1へ単調減少するので, 角度と値が1対1に対応しています.
結局, -sinθ=cos(θ+α)[符号に注意しよう]と変換したいわけですが
cos(θ+π/2)=-sinθ [グラフ利用だと平行移動をどれだけすればいいか探ってみる]
を利用すればいいことに気づきます.
0≦x≦πでsin(x)は常に正だからです.
グラフあるいは単位円からでも納得できると思いますが.
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*定義域が与えられたとき, その関数の値域がどのような範囲をとるか常に意識するようにしましょう.
*関数は必ずしも1対1ではありません. たとえば解の個数の分類や軌跡の問題で経験があるはずです.
あー！見落としてました！
すいません
カ のところ紙に書いて貰えますか？
文字だけだと見にくいので
ここから下の所がいまいち分からないです