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要 例題 28
格子点の個
DO
座標がともに整数で
次の連立不等式の表す領域に含まれる格子点(x座標, y)
ある点)の個数を求めよ。 ただし, n は自然数とする。
(1)x2,y2, x+2y≦2n
CHART & SOLUTION
格子点の個数
(2) x≥0, y≤n², y=x²
直線xk または y=k上の格子点を求め加える
「不等式の表す領域」は数学Ⅱの第3章を参照。
n=2のとき
具体的な数を代入してグラフをかき, 見通しを立ててみよう。
n=3 のとき
(1) n=1のとき
y
y
y4
x+2y=2.1
x+2y=2.3.
x+2y=2.2
3
13-20
UC29
-1
-10
1
2
0123456
n=1のとき
1+3=4,
n=2のとき
1+3+5=9,
n=3 のとき
1+3+5+7=16
一般 (n) の場合については, 境界の直線の方程式 x+2y=2n から x=2n-2y
よって, 直線 y=k (k=n, n-1,..., 0) 上には (2n-2k+1) 個の格子点が並ぶから、
(2n-2k+1)において, k = 0, 1, ……,
(2) n=1のとき
nとおいたものの総和が求める個数となる。
n=3のとき
-y
n=2のとき
y=x2
-yA
y=x2+
y
F(St
9 [ホ
y=x2
I
-1
0
x
n=1のとき
n=2のとき
n=3 のとき
一般 (n) の場合については、直線x=k (k=0, 1, 2,
x
4コ
0
(
+
.
+
(1−0+1)+(1-1+1)=3,
-4
(S)-1-
.
+
2- 3- x
(4-0+1)+(4−1+1)+(4-4+1)=10,
(9-0+1)+(9-1+1)+(9-4+1)+(9-9+1)=26
-0
の美
ものの総和が求める個数となる。
1個の格子点が並ぶから,(n-k+1)において,k= 0, 1,
-1,n)上には
nとおいた
また,次のような図形の対称性などを利用した別解も考えられる。
解三角形上の格子点の個数を長方形上の個数の半分とみる。
(1)の
(2)の別解 長方形上の格子点の個数から、 領域外の個数を引いたものと考える。
このとき、対角線上の格子点の個数を考慮する。
解