重複組合せ
A, B, C, D の4種類の缶詰を合わせて9個買うとき,
(1)それぞれの缶詰を少なくとも1個は買う場合, 買い方は何通りあるか.
(2) 買わない缶詰の種類があってもよい場合, 買い方は何通りあるか。
種類ごとにまとめて並べる
(産業無料)
同じ買い方か違う買い方かが一目でわかるように(買った缶詰を)整
理するとしたら, 多くの人が「左から A, B, C, Dの順に,同じ種類の缶詰をまとめて並べる」とする
のではないか. 例えば,Aを3個, Bを4個, Cを1個, Dを1個なら AAABBBBCD となる. そして、
この文字列は, AとBの境, BとCの境, C
とDの境が決まれば決まる (復元できる).
AAABBBBCD
←
000100001010
つまり右のようにA~D を◯, 境を仕切りで表せば,9個の○と3個のの並びと対応する .
(1)は, 仕切りが両端にはなく,かつ隣り合わない. (2) は並び順は自由である。 このような○とい
の並べ方の総数を求める.
解答
(1)○を9個並べておき,○の間(図の↑)8か所
から異なる3か所を選んで仕切りを入れる. 仕切り
で区切られた 4か所の○の個数を左から順にA, B,
C,D の個数とすると,どの場所にも○は1個以上あ
るので題意の買い方と対応する. よって, 求める場合
8.7.6
3.2
の数は仕切りの位置の選び方と同じで, 8C3=
↑↑
00|000|0|000
A B C D
=56(通り)
(2) ○を9個を3個, 横一列に自由に並べ, で区切られた4か所の○の
個数 (○がないところは0個)を左から順にA, B,
C,D の個数とする. この並べ方と題意の買い方は
000||00|〇〇〇〇
ABCD
買い方を決めれば仕切りの
←が決まる。 仕切りの位置
ば違う買い方と対応する。
12・11・10
対応するから,求める場合の数は, 9+3C3=
=220 (通り)
3.2