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例題 114 軌跡 〔8〕・・・ 線分の中点の軌跡 (2)・・・(札
円 x2 +y2 = 1 ・・・ ① と直線 αax-y+2a=0 ・・・ ② について
(2) αが (1) で求めた範囲で動くとき, その2交点を結ぶ線分の中点の座
(1)円 ①と直線 ② が異なる2点で交わるとき, αの値の範囲を求めよ。
をαを用いて表せ。
(3)(2)の中点の軌跡を求めよ。
(1) ①と直線 ② が異なる2点で交わる
① ② を連立した2次方程式 (*) の判別式DがD> 0
①の中心と直線②の距離) (①の半径)
どちらで考えるか?
(2)素直に考えると・・・
X =
中点(X,
aX-Y-
したがっ
ゆえに,
(3)5
X=-
よって
↑計算が繁雑
⑥ の
y
2次方程式(*)から2交点の座標を実際に求めて考える。
求めるものの言い換え
思考プロセス
2次方程式(*)の2解をα, βとする
解と係数の関係
中点のx座標
a+β
2
《ReAction 線分の中点の軌跡は,解と係数の関係を利用せよ
解 (1) ①,②より,yを消去して整理すると
⑦を
Y2 =
0
よっ
a
a+β.
ここ
2
④よ
例題113)
軌跡
4
D>0より
3
・④ であるから
√3
例題
(1 + α²)x2 + 4ax + 4a² -1 = 0
...
③
94
① ② は異なる2点で交わるから, ③の判別式をDと
すると
D > 0
D
==
(2a²)² - (1+ a²)(4a²-1) = −3a²+1
-3a²+1>0-6
円 ①の中心と直線 ② の
距離を d,円 ① の半径を
r として,d<r から求
めることもできるが、(2)
で交点の座標を考えるか
ら,③を考える。
Play Back 8 参照
√3
Point
(1)
②
<a<
例題
130
(2) αが(1)で求めた範囲を動くと
き,円 ①と直線②の2交点の
x座標は,xの2次方程式 ③の
2つの実数解である。
3
3
1
<0
+
(3
(2
(X, Y)
1
より
**
④
これらをα, β とすると,解と
係数の関係より
(1)
a<±
としないよう
-2-1a O B
a+B=
4a²
1+ a2
とすると
よって,円 ①と直線 ② の2交点の中点の座標を (X, Y)
la+B=
b
a
に注意する。
■2次方程式
lax+bx+c=0の2つ
の解をα,Bとすると
練習 11
198
laβ=