135 平面と直線の交点
四面体 ABCDの辺AB を 2:3に内分する点をP、辺ACを1:2に内
分する点をQ、辺AD を 2:1に内分する点をRとする.また,三角形
PQR の重心を G とし,直線 DG と平面ABC の交点をEとする.
(1) AG をAB, AC, AD を用いて表せ.
(2) AEをAB, AC を用いて表せ。 また, DG : GE を求めよ.
(平面ABC)より、 $8-) (0 0 5)-(0
解答
(1) 条件より、AP= 12/3 AB, AQ=1/3 AC, AR=2/3 AD である。
ORIE DO
Gは三角形 PQR の重心であるから,
よって1/35 KAB+ 1/2kAC+(1-272) AD
一方,Eは平面ABC 上にあるから,
9
AG=1/13 (AP+AQ+AR)=1/(1/AB+/AC+/AD = 1/85AB+/AC+ / AD
35
3
(2)Eは直線 DG 上の点であるから, DÉ=kDG ( は実数) とおける.これより,
AE=kAG+(1-2) AD」
HA+AO-HO
A
2
=kl
k 15 AB+ /10/AC+ //AD+(1-k)AD
9
0-40-80-HA
15/+8As+ÃO=
したがって AE=sAB+tAC (s, t は実数)
①,②において, AB, AC, ADは1次独立であるから
2
153k=s かつ 1k=tかつ 01-272k
9
DE
解説講義
平面と直線の交点は, 求めたい点に関して
(I) 直線上の点であること 解答の①)
B ベクト
(西南学院大)
-50-54
OBATSH
D
+0.0) G
R
これを解くと,k=1 となるから、①より,
0 Te
AE= AB+AC LABO
さらに,k=0 より,DE = 2 DG となるから, DG: GE=7:2
C
E P
B
QA
(ⅡI) 平面上の点であること (解答の②
1つの係数比較をすることが定番の解法である.