G
EX √ (1) 和 1+x+x2+・・・+x” を求めよ。
⑨ 117 (2) (1) で求めた結果をxで微分することにより,和1+2x+3x2+......
n
・・+nx"-1 を求めよ。
n
(3)(2)の結果を用いて, 無限級数の和を求めよ。 ただし, lim=0であることを用い
てよい。
n=1 2n
2n
[類 東北学院大 ]
(1)x≠1のとき,求める和は初項1,公比xの等比数列の初項か ←公比≠1.公比=1で場
合分け。
ら第n+1項までの和であるから
1+x+x2+······+x=.
1-xn+1
1-x
①
←
x=1のとき 1+x+x2+......+x"=n+1
(2)x=1のとき、 ①の両辺をxで微分するとI-
1+2+3x²+....+nx"
n-1
-(n+1)x"(1-x)-(1-x"+1)・(−1)
(初項){1-(公比)項数}
1-(公)
←1x(n+1)
←(x)' 0-1
・(-1)(*)←(%)=o_ur
(1-x)2
よって
1+2x+3x2+......+nx"
_n-1=
nxn+1−(n+1)x +1
(1-x)2
② ←)の右辺の分子を整
x=1のとき
1+2x+3x2+ +nxn-1
理。
(x)=(x)
1
(笑)=1+2+3+・・・ •+n=⋅
2
(+1)
n(n+1)(x)(x)=
(3)x=1/2 ②の両辺に代入すると
=(x)
n
比部分は
2 3
n
1+
+
+…+
=
2
22
2n-1
2n+1
2n
k
n
n+1
両辺を2で割ると
IM
=
k=1
ゆえに = 2(12/2
nk
n
.
よってm=lim
k=12k
こ
k=12k
8
2n+1
n 1
-
2n 2n 2n
n
****lim-lim2(+1)
n=12n
n→∞
=2
20
2"
2+1)
n
01
n+1 +1)*(-
n=1 27
12 であることに注目し
(x)0
2
x=1/2 を代入。
nk
←部分を求めた
k=12k
-
+1
n
=
ことになる。
0=
22"
D
+2(-0-0-0+1)